§ 3. Движение в поле тяжести

1. Общая теория.

Действие силы тяжести можно всегда рассматривать таким образом, как если бы в центре тяжести тела действовала сила величины направленная вертикально вниз; если направить ось вертикально вверх, то необходимо положить в § 1, (13), (14):

где с означает единичный вектор, направленный, вертикально вверх, и центр тяжести выбран за начало системы, связанной с телом, так что сила тяжести не дает момента относительно тела. В таком случае, согласно § 1, (14), центр тяжести движется как свободная материальная точка в поле тяжести, и вращение около центра тяжести подчиняется тем же законам, как и свободное движение около неподвижной точки. Это приводит опять к случаю § 2. Чтобы притти к новой задаче, мы должны предположить, что неподвижной является какая-либо другая точка тела, а не центр тяжести. В эту точку мы поместим начало как неподвижной, так и связанной с телом системы, к ней относятся теперь момент внешних сил момент количества движения и момент инерции Так как одна точка неподвижна, то из уравнений движения (14) нужно рассмотреть только второе. Так как скорость и начала равна нулю, то согласно § и согласно § 1, (12а):

следовательно, на основании первого уравнения (1), имеющего место также и теперь:

где есть вектор положения центра тяжести с составляющими Подставляя в уравнения Эйлера § 1, (21), мы получаем, в связи с § 1, (5):

Если положить и разложить на составляющие, то отсюда получится:

Уравнения (4), (5) образуют систему из шести совокупных дифференциальных уравнений первого порядка для определения шести нечестных Теперь уже нельзя, как в случае свободного движения (§ 2), проинтегрировать отдельно три уравнения Эйлера (4).

Три интеграла системы (4), (5) находятся сразу. Если мы помножим уравнения (4) последовательно на сложим их и примем во внимание (5), то мы получим:

Если же помножить уравнения (4) последовательно на а уравнения (5) на и сложить все шесть, то мы получим:

Из уравнений (5) вытекает после помножения на и сложения:

Так как обе стороны трех полученных соотношений являются полными производными по времени, то интегрирование дает:

т. е. три интеграла, являющиеся алгебраическими функциями переменных. Можно покапать, что четвертого алгебраического интеграла, вообще говоря, нельзя найти; он существует только в трех случаях, отличающихся особым распределением масс:

1) в случае когда центр тяжести совпадает с неподвижной точкой. При этом и уравнения (4) сводятся к уравнениям § 2, (1), следовательно они имеют, согласно § 2, (2), четвертый интеграл:

(случай Эйлера),

2) в случае симметричного волчка § 2, 4, когда центр тяжести и неподвижная точка лежат на оси тела (оси последнее уравнение (4) имеет на основании простой вид: и мы получаем четвертый интеграл

3) в случае симметричного волчка когда кроме того и центр тяжести лежит не на оси фигуры, а в плоскости Этот случай (случай Софьи Ковалевской) мы здесь не будем разбирать подробнее.