ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Механика точки как наука была основана Галилеем в начале семнадцатого столетия и после его смерти развивалась Гюйгенсом. Основные принципы были установлены и сформулированы Ньютоном, чье великое сочинение «Математические начала натуральной философии» [1] появилось в 1687 г. В 1743 г. Даламбер [2] распространил законы Ньютона на задачи механики твердого тела. Основания аналитической механики были заложены Эйлером уже в 1736 г. [3], но выдающимся событием в ранней истории этой науки стал выход в свет «Аналитической механики» Лагранжа в 1788 г. [4]. Развитие аналитической механики со времен Лагранжа связано с именами многих прославленных математиков. Среди тех, кому принадлежат наиболее фундаментальные открытия в этой области, в первую очередь следует назвать Лапласа, Гамильтона, Якоби, Гаусса и Пуанкаре.

Цель настоящего сочинения — дать сжатое, последовательное и достаточно полное изложение современного состояния предмета. Аналитическая механика основывается на одном результате Лагранжа, который мы будем называть основным уравнением. Этот результат устанавливается в гл. III после необходимого предварительного обсуждения. Чтобы изложение приобрело возможно более гибкую и изящную форму, основное уравнение необходимо представить в нескольких различных видах. Именно так строится изложение в этой книге. Каждая из этих различных форм (всего их шесть) примечательна своими собственными особыми достоинствами, и каждая из них, по мнению автора, является верной отправной точкой для развития определенной ветви механики. Автор старался ясно указать условия, при которых справедлива каждая из таких форм, и круг проблем, для решения которых каждая из них является наиболее подходящей. Повышенный интерес к этим вопросам объясняется тем фундаментальным значением, какое они имеют для осознания предмета в целом. Стоит однажды понять их, как все в целом становится ясным и предстает в простом и естественном свете.

Различные формы этого уравнения позволяют получить основные уравнения для различных разделов механики; при этом мы сталкиваемся с серьезной трудностью, связанной с огромным объемом материала. Выбор сведений и фактов составлял одну из самых больших трудностей для автора, стремившегося дать систематическое изложение предмета. Трудность эта лишь подчеркивается тем особым положением, которое механика занимает в иерархии физических наук.

Принципы механики важны не только для тех, кто изучает эту науку, чтобы постичь ее самое, но и для инженеров, астрономов и физиков. Каждую из этих групп специалистов интересуют в первую очередь свои вопросы. Инженер, например, обращает большее внимание на динамику твердого тела, теорию упругости и учение о колебаниях; астроном интересуется главным образом специальными задачами небесной механики; физика интересуют те разделы механики, из которых легко установить связь со статистической механикой и квантовой теорией. Вероятно, не существует такого выбора материала и такого построения изложения, которые полностью удовлетворили бы всех читателей. Тем не менее автор надеется, что читатели,

принадлежащие к каждой из этих столь различных групп, найдут здесь изложение основных фактов, которое соответствует их специфическим интересам. Автор стремился развивать каждую тему таким образом, чтобы у читателя не возникло чувства разочарования; даже если и не оказалось возможным дать ответ на тот или иной вопрос, интересующий читателя, то он найдет здесь все необходимое, чтобы сделать это самостоятельно.

Различные вопросы теории автор иллюстрировал конкретными примерами; голое изложение абстрактной теории могло бы показаться читателю оторванным от жизни и неинтересным. Применение теории к конкретным задачам есть лучшее средство продемонстрировать полезность и жизненность науки. Желая ограничить объем книги разумными пределами, автор старался устоять перед соблазном включить в текст вопросы, которые могли бы увести изложение в сторону от основных идей; в текст, однако, включен ряд замечательных по своей красоте результатов, имеющих историческое значение, которые связаны непосредственно с основным изложением. (К ним, по-видимому, следует отнести шесть теорем об энергии § 14.7 и, возможно, значительную часть теории удара.) Кроме того, автор старался не выходить за рамки чистой механики и потому не касался вопросов, связанных с электроникой и квантовой теорией, а также задач инженерной практики, хотя это легко можно было бы сделать во многих местах. В качестве известной компенсации он позволил себе дать по два независимых доказательства некоторых наиболее важных теорем.

«On a deja plusieurs Traites de Mecanique» - такими словами начинается предисловие к «Аналитической механике» Лагранжа, и, конечно, в настоящее время сочинений по механике гораздо больше, чем в 1788 г. Во многих из них вопросы, изложенные в этой книге лишь в общих чертах, рассмотрены весьма подробно. Так, например, теория вращающегося волчка кратко изложена в § 8.9, подробное же изложение этого вопроса занимает у Клейна и Зоммерфельда [33] четыре тома. Гл. IX посвящена классической теории колебаний, а в гл. XIX кратко рассматриваются некоторые задачи нелинейных колебаний. Между тем в последние годы общая теория нелинейных систем привлекла большое внимание ученых, и появилось множество книг и статей, где эти вопросы излагаются значительно более подробно. В работе [46] библиографический указатель только последних публикаций занимает около семидесяти страниц. (Превосходный обзор современного состояния предмета дан Минорским в работе [43].)

В гл. XXII дается доказательство эргодической теоремы, но фундаментальная эргодическая теорема динамики является лишь отправной точкой для хорошо разработанной в настоящее время абстрактной теории. Хопф в своей работе [47] 1937 г. цитирует более пятидесяти работ по эргодической теории, и это число к настоящему времени выросло в огромной степени. Ни одно сочинение по механике не будет полным без задачи трех тел — проблемы, оказавшей на развитие этой науки, по-видимому, большее влияние, чем любая другая.

Главы XXVIII и XXIX служат кратким введением в эту проблему. Более подробное рассмотрение увело бы нас слишком далеко в сферу интересов астрономов.

В вопросе о терминах и обозначениях автор придерживается консервативных позиций. Например, часто используется термин центр тяжести, хотя, строго говоря, он оправдан только в той задаче, где он возник, — в задаче о твердом теле в однородном поле тяжести. По традиции через q

обозначается лагранжева координата, через функция Лагранжа, через функция Гамильтона и через главная функция. Отступления от общепринятых обозначений делаются по особым причинам лишь в немногих местах, где излагаются второстепенные вопросы.

В этой книге автор сравнительно редко делает ссылки на другие работы. Это объясняется, с одной стороны, желанием не прерывать изложение материала и, с другой стороны, еще одной причиной, характерной именно для излагаемого здесь предмета. Дело в том, что литература по механике столь обширна, что список публикаций по какому-либо частному вопросу, даже без претензии на полноту, оказался бы во многих случаях очень громоздким. Можно было бы ограничиться двумя-тремя наиболее важными ссылками, но практически это не всегда легко сделать, особенно тогда, когда затрагиваются вопросы приоритета.

Вопросы о приоритете часто бывают спорными. С одной стороны, многие результаты были получены почти одновременно двумя различными авторами независимо друг от друга. С другой стороны, даже в том случае, когда первое явное упоминание о результате содержится в какой-либо ссылке, появившийся ранее результат иногда бывает настолько близок к нему, что вопрос о приоритете можно с основанием оспаривать. Такого рода трудности возникают в особенности в связи с работами середины девятнадцатого столетия, когда создавалось основное здание аналитической механики. Замечательным примером тесно связанных теорий, выдвинутых почти в одно и то же время двумя разными авторами независимо друг от друга, служит центральная теорема, которую автор (как и большинство английских математиков) называет теоремой Гамильтона — Якоби; такое название дано в память о двух знаменитых авторах, одновременно работавших над одним и тем же кругом идей. Другим примером фундаментальной теории, разработанной двумя различными учеными независимо друг от друга (хотя на этот раз и не одновременно), служат уравнения Гиббса — Аппеля. Когда Уиллард Гиббс открыл эти уравнения, они не произвели глубокого впечатления, важность их была оценена лишь после того, как двадцать лет спустя Аппель открыл их вновь. Можно привести еще много других примеров, когда разные ученые независимо друг от друга приходили к одному и тому же результату.

Вообще говоря, книгу следовало бы начать с истолкования понятий массы и силы и с логического обоснования законов движения Ньютона, все это — вопросы фундаментальной важности. Но это потребовало бы много места и, кроме того, эти вопросы, по всей вероятности, известны большинству читателей. Поэтому после некоторых колебаний автор решил начать с практических вопросов, предположив, что логическая основа теории читателям уже известна.

Несколько слов о содержании книги. Очевидно, изложение было бы проще и компактнее, если бы все внимание сосредоточить на голономных системах. Однако такое ограничение дало бы искаженное представление о предмете в целом. В то же время автор учитывал, что на практике мы обычно имеем дело с голономными системами, и потому уделил неголономным системам сравнительно немного места. Особое внимание было обращено на отдельные классические задачи динамики твердого тела, которые, по мнению автора, еще недостаточно полно освещены в литературе. Это мнение (о недостаточном внимании к динамике твердого тела) послужило причиной того, что в книгу включен раздел о теории поворотов твердого тела (гл. VII). Можно возразить, что эти вопросы составляют скорее предмет теории групп и вряд ли их следует включать в руководство по механике. Возможно, что

решение автора в большей степени было продиктовано внутренней красотой теории, нежели практическими потребностями изложения.

При работе над систематическим и подробным изложением предмета возникает естественное желание сделать некоторые теоретические обобщения, привести новые или более простые доказательства. Некоторые из них были опубликованы автором отдельно, иные появились в других работах автора, а часть впервые увидит свет в этой книге.

Автор считает себя во многом обязанным ряду ученых, прежде всего Раусу и Аппелю. Галльское изящество и ясность «Аналитической механики» Аппеля [21] способствовали пробуждению у автора интереса к аналитической механике; читатели, знакомые с этой книгой, почувствуют, вероятно, то влияние, какое она оказала на его восприятие предмета. Знаменитая книга Рауса [20], впервые опубликованная в 1860 г. и выдержавшая в последующие годы много изданий, и сейчас оказывает громадное влияние на преподавание механики; богатство содержания этой книги поистине поразительно. Раус (которого часто недооценивали как математика), когда писал свою книгу, был близок к открытию фундаментальных теорий. Многие важнейшие результаты были добавлены им в более поздние издания в виде приложений.

Обозревая историю создания механики за два столетия, мы видим триумфальное развитие ее, постоянно расширяющийся круг приложений, огромное разнообразие и гибкость применяемых методов, неизбежное смещение интересов в сторону той или иной области по мере развития науки. Трудно удержаться от восхищения этим примером неисчерпаемой силы человеческого духа. Очень многие задачи, казавшиеся неразрешимыми, раскрыли наконец свои тайны, а во многих других, решенных не до конца, достигнуто важное и значительное продвижение. И все же, как ни поражает нас величие наших достижений, мы должны ясно представлять себе объем и разнообразие еще нерешенных проблем. Мы и поныне напоминаем собой детей, играющих на берегу огромного и неисследованного океана истины.

В последние годы среди математиков наметилось заметное ослабление интереса к классической механике. Это объясняется рядом причин. К их числу следует отнести возросший интерес к теории относительности и связанное с этим понижение престижа механики Ньютона, коренное изменение взгляда на физику, переход от старой идеи чистого детерминизма к новой идее о статистическом характере событий и связанное с этим развитие статистической механики, интерес, вызванный новыми открытиями в квантовой теории и в атомной физике, а также то, что многие математики, занимающиеся прикладными задачами, предпочитают абстрактным теориям численные решения с последующей опытной проверкой.

По мнению автора, этим современным направлениям, самим по себе достойным всяческого поощрения, часто недостает изящества классических теорий. Автор надеется, что его книга в какой-то мере будет способствовать возрождению интереса к аналитической динамике как к таковой.

Кембридж, Л. А. Парс

июня 1964