§ 11.5. Электрон в электромагнитном поле.
Функция Лагранжа в этом случае имеет вид (см. (10.6.18))
где, как и ранее, 
скалярный потенциал и А — векторный потенциал электромагнитного поля.
Составим теперь выражение для функции Гамильтона в координатах х, у, z. Имеем
и два аналогичных уравнения; в них 
— составляющие вектора 
Далее находим
и, поскольку
окончательно получаем
В качестве примера рассмотрим задачу о движении электрона в скрещивающихся электрическом и магнитном полях. Пусть электрическое поле имеет составляющие 
а магнитное поле — составляющие 
заряд электрона обозначим через 
Векторный потенциал равен 
и
Из уравнений Лагранжа (или непосредственно) получаем уравнения движения
где 
причем и 
к принимаются положительными. Если электрон первоначально двигался в плоскости 
то он все время будет двигаться в этой плоскости.
Рассмотрим классическую задачу о движении электрона при следующих начальных условиях: пусть в момент 
он находится в начале координат и скорость его равна нулю. Находим сразу первые интегралы уравнений (11.5.7) и (11.5.8):
Чтобы довести интегрирование до конца, умножим уравнения (11.5.7) и (11.5.8) соответственно на 
и сложим. Проделав это, получим
Учитывая, что 
находим
Отсюда
я, следовательно,
Равенство (11.5.14) позволяет представить уравнения (11.5.10) в следующей форме:
Дифференцируя уравнение (11.5.15) по t и исключая у с помощью уравнения (11.5.16), получаем
Это соотношение, связывающее 
можно переписать в эквивалентной форме:
Отсюда после интегрирования получаем
Мы предполагаем, что 
что эквивалентно неравенству 
а последнее условие выполняется практически во всех интересующих нас случаях.
Определим теперь траекторию электрона. Из (11.5.19) и (11.5.16) находим
где
и
Чтобы получить параметрические уравнения траектории, напишем
Из уравнения (11.5.20) тогда находим
и, следовательно,
Уравнения (11.5.23) и (11.5.24) выражают траекторию электрона в параметрической форме. Если бы параметр 
(который больше единицы) имел значение, равное единице, то траекторией была бы циклоида с точками возврата, расположенными на оси 
Мы видели ранее (пример 
что если масса электрона постоянна, то траекторией электрона действительно является циклоида такого типа. Если же учесть изменение массы, то циклоидальная траектория изменится вследствие увеличения параметра 
в направлении у. Наибольшее удаление электрона от оси 
в процессе движения равно
Соответствующее удаление частицы постоянной массы 
равно (см. (10.6.28))
