§ 30.9. Метод неподвижной точки.

В § 30.8 мы доказали, что при определенных условиях для достаточно малых значений параметра существуют периодические орбиты. Из этого доказательства не следует, вообще говоря, что такие орбиты существуют для больших значений Пуанкаре исследовал этот вопрос с помощью теории преобразований, имеющих неподвижную точку.

Нетрудно видеть, что теория таких преобразований имеет непосредственное отношение к вопросу о существовании периодических решений. Рассмотрим обычные уравнения

правые части которых суть функции класса в области пространства Возьмем плоскость , определяемую уравнением эта плоскость параллельна плоскости Обозначим через А множество точек со, для которых а через множество точек А, обладающих тем свойством, что траектории с началом в этих точках целиком расположены в области Обозначим, далее, через точку множества и рассмотрим движение изображающей точки по траектории с началом в

Рис. 123.

Движение этой точки происходит в области (поскольку в точке . В дальнейшем, возможно, точка перейдет из области в область (при этом ее траектория пересечет плоскость со в точке, не принадлежащей ), а затем вновь попадет в область причем на этот раз пересечет плоскость со в точке множества А (см. рис. 123, иллюстрирующий случай Преобразование точки в точку (обозначим его является топологическим отображением области в область множества А.

Если отображение имеет неподвижную точку для которой

то орбита, проходящая через является периодической. Или, в более общем виде, если существует точка такая, что для некоторого целого положительного числа

то проходящая через орбита является периодической.

Если (что для уравнений Гамильтона всегда выполняется), то интеграл

взятый по области при преобразовании остается инвариантным. Доказательство этого утверждения было дано ранее (см. § 22.17, формула (22.17.1)).

§ 30.10. Теорема Пуанкаре о кольце. Существует одна теорема о неподвижной точке, которая особенно тесно связана с именем Пуанкаре. Эту

теорему иногда называют последней теоремой Пуанкаре или теоремой Пуанкаре о кольце. Изучая задачу трех тел, Пуанкаре пришел к мысли о существовании бесконечного множества периодических орбит (во вращающейся системе осей) не только для малых, но и для каких угодно значений Пуанкаре не дал строгого доказательства этой теоремы, хотя у него не было сомнений в ее справедливости; доказательство было дано Дж. Д. Биркгофом уже после смерти Пуанкаре. Эта теорема состоит в следующем.

Рассмотрим кольцевую область, ограниченную окружностями где Определим топологическое отображение замкнутой области на себя с помощью уравнений

Это отображение обладает следующими свойствами:

1) оно сохраняет меру;

2) каждая из граничных окружностей при отображении переходит в себя, т. е.

3) точки окружности при отображении передвигаются против хода часовой стрелки, а точки окружности по ходу часовой стрелки, что означает, что

Теорема утверждает, что при выполнении этих условий отображение имеет две неподвижные точки.

На первый взгляд возникает трудность в связи с тем, что функция определена сначала лишь по Однако фактически это обстоятельство не является существенным, так как если функция задана в одной точке кольца, то в силу непрерывности ее значения становятся известными везде.

Теорема остается верной и тогда, когда условие о сохранении меры заменяется более слабым требованием о существовании инвариантного интеграла с положительной подынтегральной функцией. Условие о сохранении меры можно заменить еще более слабым условием, что никакая подобласть кольцевой области не преобразуется в часть себя самой.

Интуитивные соображения, которые навели Пуанкаре на мысль о связи теоремы о кольце с вопросом о существовании периодических орбит, не очень убедительны и во многих отношениях спорны, но, несмотря на это, в следующем параграфе мы приведем аргументацию Пуанкаре ввиду ее особой важности для понимания вопроса и значительного исторического интереса.