§ 5.11. Варьированный путь в принципе Гамильтона.

В принципе Гамильтона (§ 3.7) варьированный путь получается из истинного пути посредством виртуального перемещения в каждый момент времени. Для неголономной системы варьированный путь, вообще говоря, невозможен. Это утверждение нами уже было доказано для одной простой неголономной системы (§ 3.8). Докажем его теперь еще для двух случаев, а именно: 1) для планиметра (§ 5.1, п. 6) и 2) для сферы, катящейся по плоскости (§ 5.10).

1) Истинное движение удовлетворяет уравнению

и перемещение является виртуальным, так что

Варьированный путь возможен тогда и только тогда, когда

Поскольку равенство (5.11.2) выполняется в каждый момент времени, соотношение (5.11.3) эквивалентно условию

или, что то же,

Варьированный путь возможен тогда и только тогда, когда

что в общем случае не имеет места.

2) Для сферы уравнения связи служат условиями качения (5.10.1) и (5.10.2). Рассмотрим простой случай, когда исходное движение представляет собой качение вдоль оси без вращения около вертикальной оси. Если рассматривать перемещение, при котором в каждый момент времени центр сферы смещается на бесконечно малое расстояние рос под прямым углом к плоскости то новый варьированный путь возможен. Дело в том, что

точки контакта на сфере лежат на окружности длиной что с точностью до малых первого порядка относительно а равно В общем же случае варьированный путь невозможен без проскальзывания. В исходном движении

и вариация такова, что

Уравнения связи (5.10.1) и (5.10.2) удовлетворяются на варьированном пути тогда и только тогда, когда

что равносильно (вспомним значения переменных в исходном движении) уравнениям

Эти уравнения не удовлетворяются, за исключением упомянутого выше случая, когда

Таким образом, как и в более простом примере § 3.8, варьированный путь невозможен без нарушения уравнений связи. Вряд ли нужно напоминать читателю, что этот факт ни в коей мере не нарушает принципа Гамильтона.