§ 19.5. Устойчивость равновесия. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость.

Особые точки поля, или точки равновесия, представляют собой те точки, в которых изображающая точка может находиться в покое. Продолжим исследование устойчивости системы, которое мы начали в гл. IX.

Мы будем говорить, что положение равновесия, соответствующее особой точке О, устойчиво, если траектория, начинающаяся в окрестности точки О, остается вблизи нее и в дальнейшем. Пусть расстояние изображающей точки от точки О в некоторый момент

Дадим строгое определение устойчивости: равновесие является устойчивым, если для любого существует положительное число такое, что если то при

В этом определении не указывается точная величина если считать ее наибольшей из возможных, то будет монотонной функцией от вместе с Если равновесие в точке О устойчиво по отношению к любому достаточно малому х, то существует положительное число такое, что при имеет место неравенство при

В теории малых колебаний мы исходили из уравнений Лагранжа, которые представляют собой уравнения второго порядка. Здесь же мы имеем уравнения первого порядка, и поэтому при определении устойчивости нужно иметь в виду, что малость означает как малость самого отклонения, так и малость скорости динамической системы. Рассмотрим, например, простой случай, когда х представляет лагранжеву координату динамической системы с одной степенью свободы и первое из уравнений (19.3.1) имеет вид . Особые точки дают конфигурации при которых система может находиться в покое; при этом требование малости величины означает не только малость отклонения системы от положения равновесия, но также и малость скорости.

В некоторых приведенных выше примерах рассматривалось более сильное условие, нежели условие устойчивости, а именно, чтобы траектории, начинающиеся вблизи от точки О, приближались к этой точке; при этом движение системы затухало и изображающая точка стремилась к состоянию покоя в особой точке. В подобных случаях говорят об асимптотической устойчивости. Равновесие называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в обычном смысле и если, кроме того, существует положительное число х такое, что если то при

Неустойчивость означает отсутствие устойчивости. Следовательно, равновесие в точке О неустойчиво тогда и только тогда, когда существует положительное число х такое, что можно указать траекторию, начинающуюся в произвольной близости от точки О, такую, что для некоторых положительных значений t выполняется неравенство

Заметим, что это определение неустойчивости не требует, чтобы для всех достаточно больших значений I или даже для некоторых произвольно больших хотя во многих конкретных примерах то или иное из этих условий обычно выполняется.

В § 19.4 мы рассмотрели все возможные типы особых точек линейной системы. Одним из них является вихревая точка. Вихревая точка устойчива. Траектории в окрестности такой точки представляют семейство подобных эллипсов с центром в точке рассматривая эллипс с большой полуосью, равной мы можем взять в качестве малую полуось этого эллипса. Устойчивые узлы и фокусы одновременно устойчивы и асимптотически. Седловые точки, а также неустойчивые узлы и фокусы неустойчивы. (Чтобы получить уравнения в форме, в какой мы их писали в § 19.4, следует применить линейное преобразование

где С — вещественная неособенная матрица размером Для того чтобы сделать заключения относительно устойчивости в различных случаях, достаточно заметить, что тогда и только тогда, когда мало тогда и только тогда, когда мало

Все это относится к случаю линейного приближения, поэтому возникает естественный вопрос: можно ли судить об устойчивости по результатам исследования линейного приближения? Как станет видно из дальнейшего, в рассматриваемом случае, когда это можно сделать, за исключением случая вихревой точки, когда имеется устойчивость в линейном приближении. В последнем случае исследование точных уравнений может показать как устойчивость, так и неустойчивость

Определения устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости допускают, как мы увидим, распространение на случай, когда Позже (в § 23.7) будет произведено также обобщение понятия устойчивости на случай движения механической системы, когда вместо вырожденных траекторий, состоящих из изолированных равновесных точек, рассматриваются собственно траектории. (Один частный пример на исследование устойчивости движения был приведен в § 9.6.)