§ 19.11. Связь линейного приближения с общей теорией.

В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос об устойчивости положения равновесия в связи с задачей о линейном приближении. Было найдено, что если линейное приближение показывает асимптотическую устойчивость, то к этому же результату мы приходим и в случае учета нелинейных членов. Аналогично, если линейное Приближение показывает неустойчивость, то этот результат сохраняется и при учете нелинейных членов. Что же касается обыкновенной устойчивости, то она, вообще говоря, не сохраняется при переходе от линейного приближения к точным уравнениям.

Рассмотрим еще три примера. В первом из них система имеет две особые точки — типа центра и типа седла — и траектории разделяются на три класса сепаратрисой — силовой линией, проходящей через седловую точку.

Второй и третий примеры относятся к исключительному случаю, когда в особой точке якобиан обращается в нуль.

Пример 19.11А. Частица единичной массы движется по прямой под действием

причем Уравнения имеют вид

Правая часть второго уравнения обращается в нуль в точках a и b. Поле обладает двумя особенностями: центром в точке и седлом в точке Потенциальная функция имеет вид

и траектории определяются из уравнения энергии

График функции — V имеет вид, показанный на рис. 88. Подобно § 1.2, форма кривой определяет характер движения для всех значений С. Траектории показаны на рис. 89. Точка А (центр), относительно которой линейное приближение показывает обыкновенную устойчивость (см. пример и пример остается устойчивой и при учете нелинейных членов.

Рис. 88.

Рис. 89.

Подтверждается также вывод, полученный в § 19.8, что движение в окрестности седла сохраняет свой характер при переходе от уравнений линейного приближения к толным уравнениям.

Сепаратриса, которая является силовой линией, проходящей через седловую точку В, пересекает себя в этой точке. Седловая точка сама есть точечная траектория, кроме того, она является предельной точкой входящих в нее траекторий — дуг сепаратрисы. Уравнение сепаратрисы имеет вид

Эта кривая еще раз пересекает ось слева или справа от начала координат в зависимости от величины Критический случай, когда пересечение происходит точно в начале координат, имеет место тогда, когда величина удовлетворяет уравнению

т. е. приблизительно при или Если превышает это критическое значение, то сепаратриса пересекает ось слева от начала координат; рис. 89 относится к случаю, когда

Пример 19.11В. До сих пор мы рассматривали системы с изолированными особыми точками, причем предполагали, что якобиан в этих точках отличен от нуля. Сейчас мы рассмотрим два примера, относящиеся к исключительному случаю, когда якобиан в особой точке обращается в нуль и изложенная выше теория неприменима.

Рассмотрим систему

Правые части этих уравнений не содержат линейных членов, и решение уравнений линейного приближения имеет вид Соответствующая этому приближению особая точка является устойчивой, и согласно определению устойчивости, данному в § 19.5, можно положить

Рассмотрим теперь точные уравнения. Пользуясь формулами (19.10.2), запишем эти уравнения в полярных координатах:

Отсюда легко находится уравнение траектории: Положение точки на траектории в некоторый момент t определяется уравнением Изображающая точка описывает окружность, касающуюся оси в точке положение точки на окружности в момент t определяется уравнением

В конце концов точка возвращается в положение О, поскольку монотонно возрастает и стремится к когда Тем не менее особая точка не является устойчивой. В самом деле, в произвольной близости от точки О можно выбрать такую начальную точку, чтобы в последующем движении изображающая точка удалилась от точки О сколь угодно далеко; например, если малое положительное число, а то т. е. очень велико.

Рассмотрим случай, когда траектория начинается в точке, лежащей на оси х. Если начальная точка имеет координаты то характеристика определяется уравнениями

Если то координата х монотонно возрастает и стремится к бесконечности, когда t стремится к Если то х монотонно убывает и стремится к нулю, когда t стремится к бесконечности.

Пример 19.11 С. Если отказаться от условия, что якобиан в особой точке не равен нулю, то утверждение о том, что неустойчивость по линейному приближению влечет за собой неустойчивость из точных уравнений, теряет силу. В качестве примера рассмотрим систему

Движение, определяемое линейным приближением, очевидно, неустойчиво. В то же время движение, определяемое точными уравнениями, является устойчивым. В самом деле, если в начальный момент то и в дальнейшем, а х при стремится к предельному значению