§ 13.3. Плоское движение.

Для твердой пластинки, движущейся в своей плоскости, имеем

где ускорение центра тяжести полярные координаты относительно системы осей, сохраняющих неизменное направление, с началом в центре тяжести. Опуская несущественные слагаемые, можем написать

Здесь через I обозначен момент инерции пластинки относительно центра тяжести.

В качестве конкретного примера рассмотрим качение однородного твердого цилиндра радиуса а по внутренней поверхности неподвижного полого цилиндра радиуса Оси цилиндров пусть будут горизонтальны, поверхности их будем считать шероховатыми, исключающими проскальзывание,

и пусть во все время качения цилиндры касаются друг друга. В данном случае Точка А на поверхности катящегося цилиндра (рис. 36) в положении равновесия совпадала с наинизшей точкой А неподвижного цилиндра, так что длина дуги окружности катящегося цилиндра равна длине дуги АВ окружности неподвижного цилиндра. Условие чистого качения в обозначениях рис. 36 запишется в следующем виде:

где . Функция Гиббса имеет вид

Рис. 36.

Выразим ее через одну составляющую ускорения (поскольку Опуская несущественные слагаемые, находим

Работа заданных сил (силы тяжести) на виртуальном перемещении равна

Уравнение движения запишется в виде

или

Оно показывает, что угол изменяется так же, как угол отклонения маятника длинои с от направленной вниз вертикали.