§ 16.14. Пфаффова форма

Вернемся к теореме об эквивалентности (§ 16.3). Мы видели, что уравнение Пфаффа

эквивалентно гамильтоновым уравнениям движения и, обратно, из уравнений Гамильтона следует уравнение (16.14.1). Были решены уравнения относительно причем решение содержало независимых параметров От этих же параметров зависят коэффициенты пфаффовой формы :

По теореме Пфаффа форму со можно представить как форму от переменных:

где надлежащим образом выбранные функции от у. Эти новые параметры вводятся вместо прежних параметров у, и траектория в фазовом пространстве определяется численными значениями или численными значениями у.

Пфаффова форма, стоящая в левой части равенства (16.14.1), имеет важное значение в теории движения в фазовом пространстве. Для изучения общей формы Пфаффа

где коэффициенты суть функции класса от независимых переменных большую роль играет система уравнений Пфаффа

где

(Гурса обозначал эту систему через ) В нашем случае, когда переменными служат и форма имеет вид

Кососимметрическая матрица имеет вид

Уравнения (16.14.5) для пфаффовой формы (16.14.7) записываются в виде

Первые уравнений представляют уравнения Гамильтона для динамической системы. Последнее уравнение не является независимым от остальных, поскольку определитель матрицы есть кососимметрический определитель нечетного порядка и потому равен нулю. Если функция не содержит явно то последнее уравнение эквивалентно интегралу энергии