§ 26.4. Асинхронное варьирование. Принцип Гёльдера.

В принципе Гамильтона операция варьирования производилась для одного и того же момента времени: точке -пространстве) на действительной траектории в момент t ставилась в соответствие точка на варьированной траектории соответствующая тому же самому моменту времени. Это было возможно, так как в принципе Гамильтона задаются не только концевые точки, но и соответствующие им моменты времени, так что движение по исходному и варьированному путям совершается за одно и то же время. Теперь мы рассмотрим случай, когда точке на исходной траектории, соответствующей положению системы в момент ставится в соответствие точка на варьированной траектории, характеризующей положение системы в момент Будем предполагать, что вариации являются функциями времени, принадлежащими к классу

Рассматривая асинхронные вариации, мы принимаем, что соотношения (6.1.1) между не содержат так что конфигурация системы для любого t определяется одной и той же точкой в -пространстве.

Вычислим теперь интеграл имея в виду, что нижний предел занимаемый системой в момент смещается в положение занимаемое системой в момент а верхний предел соответствующий моменту смещается в положение соответствующее моменту Система при этом не обязательно является голономной.

Имеем

где знак означает суммирование от 1 до Далее,

Подставляя это выражение для в (26.4.1), находим после интегрирования

Рассмотрим последний интеграл в правой части этого равенства. Если есть виртуальное перемещение в момент то в силу основного уравнения в его четвертой форме (6.1.11) подынтегральная функция равна нулю. При этом

Предположим теперь, что виртуальное перемещение в моменты выбрано нами равным нулю, так что конфигурация системы в эти моменты является заданной. Тогда мы приходим к следующему результату:

Это равенство выражает принцип Гёлъдера.

Укажем условия, при которых выполняется принцип Гёльдера. В каждый момент времени выбирается виртуальное перемещение по отношению к действительному движению; составляющие являются функциями от t класса обращающимися в нуль в моменты Затем выбирается функция от также принадлежащая к классу . В варьированном движении точка проходится в момент причем вариация не обязательно равна нулю в моменты . В случае, когда система неголономна, варьированный путь, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнениям связей. Если функция тождественно равна нулю, то мы снова приходим к принципу Гамильтона.