Глава XII. УРАВНЕНИЯ ГИББСА-АППЕЛЯ

§ 12.1. Неголономные системы.

Мы видели ранее, каким образом можно применить уравнения Лагранжа к случаю неголономной системы, и в качестве примера рассмотрели в § 8.12 качение круглого диска. Однако уравнения Лагранжа не очень удобны для изучения пеголопомных систем, и в этой главе мы рассмотрим уравнения движения в новой форме, которая особенно удобна в тех случаях, когда система неголономна (хотя, разумеется, уравнения эти справедливы и для голономных систем). Начнем изложение с понятия о квазикоординатах.

Массы частиц, составляющих систему, теперь будем считать постоянными.

§ 12.2. Квазикоординаты.

Лагранжевы координаты обладают тем свойством, что переменные х являются явными функциями от Весьма удобно, особенно в случае неголономных систем, ввести координаты более общего типа. В этих координатах каждая переменная является линейной функцией от но эти функции в общем случае не являются полными производными по времени. Каждое может быть представлено в виде линейной функции от к переменных где k — число степеней свободы системы.

Рассмотрим неголономную систему с к степенями свободы и I уравнениями связи. Для описания этой системы необходимы к лагранжевых координат Возможные перемещения системы удовлетворяют уравнению (см. § 5.7).

где коэффициенты суть функции от имеющие непрерывные первые производные в соответствующей области изменения переменных

Введем новых величин где произвольное целое число. Величины не определены как функции от но их дифференциалы представляют собой пфаффовы формы от

Коэффициенты здесь суть функции от имеющие непрерывные первые производные в области Выражения в правых частях равенств (12.2.1) и (12.2.2) представляют независимых форм Пфаффа; в общем случае они не являются полными дифференциалами. Величины называют квазикоординатами. Будем далее писать так что будем иметь переменных где из которых первые представляют собой лагранжевы координаты, а остальные квазикоординаты; при этом

Разрешим теперь уравнений (12.2.1) и (12.2.3) относительно дифференциалов выразив их через оставшиеся к дифференциалов. Эти предпочтительные к дифференциалов, через которые выражены остальные, могут быть дифференциалами либо лагранжевых координат, либо квазикоординат. Если эти выделенные координаты временно обозначить через то для координаты к ним не принадлежащей, будем иметь

Всего будем иметь таких уравнений. Уравнения (12.2.4) в точности эквивалентны системам (12.2.1) и (12.2.3). Следует подчеркнуть, что коэффициенты зависят От всех лагранжевых координат и от времени а отнюдь не от

Координата зависит от следовательно,

Выразим дифференциал каждой из невыделенных координат в правой части (12.2.5) через воспользовавшись для этого равенством (12.2.4). В результате выразится в виде линейной функции от коэффициенты этой линейной формы будут содержать все лагранжевы координаты и время t.

Изменим наши обозначения. В дальнейшем к выделенных координат (которые могут быть либо лагранжевыми, либо квазикоординатами) будем обозначать через а остальные координат — через Формула для тогда примет вид

a (12.2.4) запишется в виде

Формулы (12.2.6) и (12.2.7) являются основными для развиваемой здесь теории. Производные можно выразить через к скоростей

Аналогично через них можно выразить и для Но в каждом случае коэффициенты содержат координаты отличные от к выделенных координат; в общем случае эти коэффициенты содержат все лагранжевы координаты и время t. Полученные формулы весьма удобны. Составляющие скорости всех декартовых координат частиц) и (для невыделенных координат выражаются через систему составляющих скоростей по числу степеней свободы системы. Скорости могут иметь произвольные значения, но если эти значения заданы, то тем самым определены скорости всей системы.

Виртуальные перемещения выражаются через произвольные приращения следующим образом:

Приведем простые примеры.

1) Частица совершает плоское движение. Напишем

где х, у — декартовы координаты. Здесь представляет удвоенную площадь, ометаемую радиус-вектором, начиная с некоторого момента и является квазикоординатой.

2) В практике часто встречается случай, когда квазикоординатой является «полный поворот» твердого тела, начиная с момента около заданной оси, неподвижной или движущейся. Например, в задаче о волчке «полный поворот» около оси волчка равен . В общепринятых обозначениях (§ 8.6)

Правая часть этого уравнения, очевидно, не является полным дифференциалом, и представляет собой квазикоординату.