§ 20.8. Существование предельного цикла.

Рассмотрим уравнение (20.7.7), причем зависимую переменную будем обозначать не

Как обычно, запишем эквивалентную систему двух уравнений первого порядка: где

Начало координат является единственной особой точкой и представляет собой, либо неустойчивый узел, либо неустойчивый фокус. Как выяснится в дальнейшем, существует одна единственная циклическая силовая линия и все положительные полухарактеристики стремятся к одному предельному циклу. Система обнаруживает стремление к установлению периодических колебаний независимо от начальных условий движения (исключая тривиальный случай, когда в начальный момент

Существование предельного цикла будет доказано, если будет найдена замкнутая кривая, охватывающая точку О, которая обладает тем свойством, что вектор в каждой ее точке направлен внутрь области, ограничиваемой этой кривой. При этом, как и в § 20.6, существование предельного цикла будет следовать из теоремы Пуанкаре — Бендиксона. Однако, мы приведем здесь другое доказательство, которое одновременно будет гарантировать и единственность решения.

Направление поля в каждой точке можно определить с помощью графического построения, подобного тому, которым мы пользовались в § 19.8. Изобразим на чертеже кривую определяемую уравнением

Направление поля в любой точке А найдется тогда из следующего построения. Проведем через точку А горизонтальную прямую, она пересечет кривую в точке В. Вертикальная прямая, проходящая через точку В, пересечет ось в некоторой точке Тогда вектор поля в точке А будет направлен перпендикулярно к отрезку

Теперь легко представить общий характер поля. В точках верхней полуплоскости горизонтальная составляющая нацравлена вправо, а в точках нижней полуплоскости — влево. Слева от кривой вертикальная составляющая направлена вверх, а справа от нее — вниз. На кривой поле горизонтально, а на оси вертикально.

Рис. 93.

Рассмотрим теперь траекторию, проходящую через произвольно выбранную начальную точку Пусть для определенности эта точка располагается в верхней полуплоскости слева от кривой Точка на отрицательной полуоси х соединяется дугой траектории с точкой на положительной полуоси х. Эта дуга в верхней своей точке пересекается с кривой . В этой точке ордината траектории достигает значение затем траектория снижается (рис. 93). Это почти что очевидно из общего характера поля, но нужно дать и формальное доказательство. Когда изображающая точка удаляется от точки координаты х и у возрастают, так что и изображающая точка пересекает линию При пересечении производная у изменяет знак с положительного на отрицательный, так как

и в точке пересечения Изображающая точка может пересечь кривую только один раз в верхней полуплоскости (поскольку пересечение должно происходить слева направо), и траектория ее не может касаться кривой так как в точке на кривой касательная к траектории горизонтальна. Поэтому горизонтальное смещение точки от кривой равное никогда не обращается в нуль, если оно уже достигло положительного значения. С другой стороны, , так что спустя небольшое время после пересечения будем иметь На той части траектории, которая расположена справа от производная не принимает нулевого значения, и изображающач точка достигает оси

После пересечения с осью траектория продолжается в нижней полуплоскости и снова пересекает кривую а также отрицательную полуось х.

Рассмотрим теперь дугу траектории, проходящую в верхней полуплоскости и соединяющую точку с точкой Эта дуга определяется ординатой наивысшей точки (в которой она пересекается с кривой Обозначим эту дугу через и будем считать Функции монотонны (так как траектории не пересекаются) и изменяются в зависимости от непрерывным образом: при возрастании от до функция изменяется от до а функция от до

Если теперь заменить х на а , то уравнения не изменятся; поэтому кривая, симметричная дуге относительно начала О, также является дугой траектории. Отсюда следует, что траектория является циклической в том и только в том случае, когда

Возвращаясь теперь к уравнениям где определяются формулами (20.8.2), находим

Следовательно,

Мы получили, как легко видеть, уравнение энергии в третьей форме (см. § 3.5). Интегрируя вдоль дуги получаем

Обозначим для краткости интеграл — через Тогда можно утверждать, что мы будем иметь циклическую траекторию тогда и только тогда, когда

Покажем, что функдия обращается в нуль лишь при одном положительном значении Докажем сначала справедливость следующих положений:

2) если то так что с ростом функция монотонно убывает;

Из этих утверждений будет вытекать, что функция лишь один единственный раз принимает нулевое значение. Перейдем к их доказательству.

1) Если то вдоль кривой и Отсюда

2) Выберем и так, чтобы Пользуясь обозначениями рис. 94, напишем

Вдоль траектории имеем

Правая часть равенства в точках и положительна, причем в точке значение ее меньше, чем в точке

Отсюда

Рис. 94.

Рассуждая аналогичным образом, получаем, что

Остается сравнить интегралы, взятые вдоль дуг На этих дугах и

ибо при функция монотонно возрастает вместе с у. Таким образом,

что завершает доказательство второго утверждения.

3) Перейдем теперь к большим значениям Доли, которые вносят дуги в значение интеграла — положительны и ограничены, а доля дуги при стремится к минус бесконечности. Для доказательства выберем фиксированное число и пусть линия пересекает дугу (при ) в точках . Тогда

и длина отрезка стремится к бесконечности вместе с (ибо для любой заданной точки на линии мы можем найти проходящую через нее траекторию). В результате получаем, что когда

Мы доказали таким образом, что функция обращается в нуль при одном единственном положительном значении следовательно, существует лишь одна циклическая траектория При любая положительная полухарактеристика стремится к Начало координат представляет собой неустойчивую особую точку, и всякая траектория, начинающаяся внутри области, ограниченной кривой стремится к этой кривой изнутри. Для траектории, начинающейся вне указанной области, имеем

и при эта траектория стремится к предельному циклу. Но предельным циклом может быть только кривая поскольку других циклических траекторий не существует.

Существование единственного предельного цикла, к которому стремятся все положительные полухарактеристики, нами было доказано для уравнений первого порядка, получаемых из уравнения (20.8.1). Это остается в силе и для уравнения (20.7.6) и, в частности, для уравнения Ван-дер-Поля (20.7.5).