§ 13.5. Шар на вращающейся плоскости.

Рассмотрим качение шара по шероховатой горизонтальной плоскости, которая вращается около фиксированной в ней точки О с заданной угловой скоростью Угловая скорость может быть не постоянна и являться заданной функцией от принадлежащей классу (как в примере § 5.5). Можно рассматривать однородный твердый шар, однородную сферическую оболочку либо вообще любое тело сферической формы, центр тяжести которого лежит в его геометрическом центре, а эллипсоид инерции в точке представляет сферу. Воспользуемся системой координат с осями вдоль фиксированных направлений и началом в точке ось направим перпендикулярно к плоскости. Выберем затем систему с осями, параллельными осям системы так что в рассматриваемой задаче будем иметь Координаты центра катящегося шара обозначим через х, у, а; здесь а — радиус шара. Условия качения запишутся в виде

Рассматриваемая система неголономна и имеет три степени свободы. Для ее описания возьмем пять координат: х, причем

В нашем случае к и из пяти упомянутых выше координат х, у являются лагранжевыми координатами, представляют собой квазикоординаты. Если положение шара определить с помощью углов Эйлера то будем иметь Возможные вариации координат удовлетворяют соотношениям

Составим теперь выражение для функции Гиббса Имеем

Правую часть этого равенства нужно выразить через три составляющие ускорения, скажем через Для этого воспользуемся соотношениями

Отсюда получаем

В этом простом случае оказывается зависящей лишь от трех выделенных координат х, но в общем случае, как уже отмечалось (§ 12.4), функция зависит и от остальных координат и скоростей.

Рассмотрим теперь работу, совершаемую заданными силами на виртуальном перемещении. На этом перемещении

Если система действующих на шар внешних сил эквивалентна силе приложенной в центре шара, и паре то работа этих сил на виртуальном перемещении равна

Ясно, что существенным является лишь момент этой системы сил относительно точки соприкосновения шара и плоскости; составляющие этого момента вошли в выражение (13.5.8). Уравнения движения имеют вид

Рассмотрим в качестве примера частный случай, когда плоскость вращается с постоянной угловой скоростью а система внешних сил, действующих на шар, эквивалентна силе приложенной в центре шара

Из (13.5.11) следует, что и уравнения движения центра шара записываются в виде

где — момент инерции относительно касательной к поверхности шара. Для однородного твердого шара имеем

Уравнения движения принимают вид

Они совпадают с уравнениями движения частицы единичной массы под действием 1) силы и 2) гироскопической силы перпендикулярной к вектору скорости и пропорциональной

Рассмотрим случай однородного поля: Если шар тяжелый, а плоскость качения не горизонтальна, а наклонена под углом а к горизонту, то, направляя ось вдоль линии наибольшего наклона, находим, что Полагая получаем уравнения (13.5.14) в виде

Здесь — вещественные постоянные, Решение этого уравнения имеет вид

где Кривая представляет собой трохоиду, описываемую при качении окружности по линии, перпендикулярной к силовым линиям поля; в случае наклонной вращающейся плоскости эта линия горизонтальна. Значение несущественно: движение относительно начальной точки зависит только от . В частном случае, когда получаем циклоиду

где (рис. 37). Радиус катящейся окружности равен в случае наклонной вращающейся плоскости он равен

Рис. 37.