§ 8.4. Кинетическая энергия твердого тела.

Допустим сначала, что тело имеет неподвижную точку О. Если главные оси инерции в точке О, а составляющие вектора угловой скорости по осям то можно написать

Здесь с — координаты частицы тела по осям Поскольку эти оси фиксированы в теле, величины с постоянны. Так как

то выражение (8.4.1) переписывается в виде

где моменты инерции тела относительно осей т. е. главные моменты инерции тела в точке О.

Пусть теперь тело совершает движение в пространстве. Обозначим через координаты центра тяжести (относительно неподвижной системы и пусть главными осями инерции в точке будут Если составляющие угловой скорости по осям то по теореме Кёнига (§ 7.1) имеем

Чтобы воспользоваться этой формулой для составления уравнений Лагранжа, величины следует выразить через лагранжевы координаты, например углы Эйлера или углы (§ 7.16).

Указанный выше способ составления выражения для отличается простотой и наглядностью, хотя на первый взгляд может показаться, что он не связан прямо с первоначальным определением (§ 3.3):

Между тем следует отметить, что практически весьма удобно делать непосредственные выводы из формулы (8.4.5). Пусть

Обозначив направляющие косинусы оси через составим матрицу I (см. § 7.3):

Направляющие косинусы являются некоторыми простыми функциями лагранжевых координат (§§ 7.11, 7.12). Имеем

Аналогичные формулы получаем для Поскольку

формула (8.4.5) для принимает вид

Выразим теперь I, через или Вычисления, которые необходимо при этом проделать, не особенно сложны, но их можно еще более упростить, если заметить, что определяют единичный вектор постоянного направления, так что

Таким образом,

и мы сразу приходим к (8.4.4).