§ 24.15. Некоторые примеры.

Рассмотрим сначала систему с одной степенью свободы. В этом случае вопрос решается просто: единственным условием контактности преобразования является требование о сохранении меры, а именно:

Как можно видеть, это есть условие для скобок Пуассона (§ 24.9). Можно также заметить, что интеграл вдоль простой замкнутой кривой в фазовом пространстве (т. е. в плоскости равен знаком минус) площади, ограниченной этой кривой; неизменность площади означает, что выражение является полным дифференциалом.

Линейное преобразование

с коэффициентами зависящими от времени, является контактным лишь в том случае, если

Простой способ нахождения контактного преобразования мы получаем, рассматривая движение динамических систем. При этом переменные определяют координаты начальной точки, а переменные координаты изображающей точки в момент t. Уравнения таких преобразований, соответствующих действительным движениям, обращаются в тождества при если зафиксировать значение то получим контактное преобразование, не зависящее от времени. Следующие два примера контактных преобразований соответствуют хорошо известным задачам прямолинейного движения:

Другими простыми примерами линейных контактных преобразований могут служить

Последовательно применяя эти преобразования, можно получать другие преобразования. Отметим два важных частных случая преобразования (24.15.8), которые получаются при а именно:

Преобразование

является контактным при условии, если ; тогда получаем

Это можно записать также в форме

Легко убедиться, что выражение представляет собой полный дифференциал. В самом деле,

Формулы (24.15.13) можно также вывести из производящей функции (см. (24.3.3), для этого достаточно взять

Объединяя (24.15.13) и (24.15.10), получаем контактное преобразование

Преобразование

является контактным, если

В частности, формулы

определяют контактное преобразование.

Понятие контактного преобразования мы до сих пор применяли лишь к вещественным переменным. Это понятие допускает распространение и на тот случай, когда переменные могут принимать комплексные значения. В конкретных приложениях окончательные результаты мы будем записывать в вещественной форме. Рассмотрим

простой пример. Положим в формулах где вещественное положительное число. Тогда будем иметь

Если в формулах (24.15.20) положить то получим контактное преобразование

К этому результату можно также прийти, объединяя формулы (24.15.9) при и формулы (24.15.13).

Рассмотренные выше примеры относились к системам с одной степенью свободы, обратимся теперь к системам с степенями свободы. Простой пример дает расширенное точечное преобразование (§ 24.4). В качестве иллюстрации рассмотрим переход от декартовых координат к полярным в случае плоского движения точки. В этом случае

и формулы (24.4.6) имеют вид

Контактные преобразования встречаются и во многих других случаях. Движение динамической системы определяет контактное преобразование Кроме того, если мы будем фиксировать траекторию в фазовом пространстве с помощью параметров связанных с соотношениями то преобразование от будет контактным (§ 24.1). В самом деле, подобное контактное преобразование мы получаем всякий раз, когда решаем задачу динамики с помощью теоремы Гамильтона — Якоби (§ 25.2). Можно, наконец, определить контактное преобразование с помощью производящей функции (§ 24.3); в дальнейшем, при исследовании задачи трех тел (гл. XXIX), мы приведем много примеров контактных преобразований.