§ 10.3. Гироскопическая устойчивость.

В задаче о спящем волчке (§ 9.9) мы уже встречались с гироскопической устойчивостью; сейчас мы коротко остановимся на общей теории, из которой гироскопическая устойчивость следует как частный случай.

Рассмотрим снова, как в § 10.2, систему, имеющую одну циклическую координату коэффициент пусть будет постоянным. Движение системы степенями свободы, описываемой явными координатами, определяется

с помощью функции Рауса

Тогда точка в которой все производные обращаются в нуль, является положением кажущегося равновесия. Это — положение равловесия в явных координатах для всех значений Нашей целью будет изучить устойчивость по первому цриближению этого кажущегося равновесия.

В точке в которой функция V имеет минимум, равновесие, несомненно, устойчивое. Без потери общности можно принять, что в точке Из уравнения энергии (6.8.3) тогда имеем

и так как определенно-положительная форма, то при всех t

При достаточно малых значениях С это означает, что движение происходит в малой окрестности точки так что равновесие в точке является устойчивым.

Если точка является точкой максимума функции V или седловой точкой, то движение неустойчиво, если Но в некоторых случаях можно достигнуть устойчивости или по крайней мере устойчивости по первому приближению, если придать параметру достаточно большое значение. В этом случае говорят о гироскопической устойчивости; с ним мы встречаемся в задаче о спящем волчке.

Как и в теории малых колебаний, примем за начало отсчета положение равновесия. При исследовании устойчивости по первому приближению достаточно применить выражение для составленное с точностью до членов второго порядка по

Чтобы пояснить основную идею, рассмотрим простой случай, когда система имеет всего две явные координаты. Перейдем к координатам, в которых представляются суммами квадратов; при это главные координаты. Преобразование наверняка существует, поскольку определенно-положительная форма. Обозначив новые координаты через х и у, напишем

При этом нам требуется знать лишь с точностью до членов первого порядка по . Линейные приближения для уравнений движения в явных координатах запишутся в виде

где

— некоторый постоянный множитель. Решения уравнений (10.3.4) содержат множители где являются корнями квадратного уравнения

или

Условие устойчивости по первому приближению заключается в том, чтобы это квадратное относительно уравнение имело вещественные отрицательные корни; для этого в сдою очередь требуется, чтобы

Из неравенства (10.3.8) следует, что должны быть либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными. Это означает, что обе степени свободы, рассматриваемые в отдельности, при устойчивы или обе неустойчивы в нулевой точке. Потенциальная энергия должна иметь либо минимум, либо максимум, но не седловую точку. Условие (10.3.9), очевидно, выполняется, если и и положительны. В этом случае функция V в нулевой точке имеет минимум, и, как уже отмечалось, равновесие при этом устойчиво при всех значениях Условие (10.3.9) может выполняться и тогда, когда отрицательны, а именно когда

Из этого неравенства следует, что если обе степени свободы при неустойчивы, то неустойчивое положение можно превратить в устойчивое (в смысле устойчивости по первому приближению), если придать достаточно большое значение. Неустойчивое положение становится устойчивым, если гироскопу сообщить достаточно быстрое вращение.