§ 27.6. Характеристическая функция.

Обратимся к основному результату (27.1.5). Ограничимся рассмотрением натуральной системы с степенями свободы. В этом случае будем иметь

где

Напомним, что варьирование производится в предположении, что вдоль кривых сравнения энергия остается постоянной, равной Это ограничение вариаций, в сущности, не является чересчур искусственным: мы просто требуем, чтобы изображающая точка двигалась вдоль варьированного пути в -пространстве со скоростью, удовлетворяющей условию причем время движения по этому пути нами не ограничивается.

Основная формула (27.1.5) была выведена нами в предположении, что варьирование совершается относительно динамически возможного пути (т. е. пути, удовлетворяющего уравнениям движения). Варьированный путь при этом не является, вообще говоря, динамически возможным путем, но мы остановимся на том частном случае, когда этот путь является динамически возможным. Варьированным движением при этом будет движение системы с немного измененными начальными значениями координат и скоростей.

Определим характеристическую функцию Гамильтона. Эта функция определяется интегралом действия К, взятым вдоль действительного пути и выраженным через начальные и конечные координаты и постоянную энергии k. Обозначим характеристическую функцию через . Основное уравнение (27.1.5) определяет вариацию характеристической функции при произвольных вариациях ее аргументов. Это соотношение аналогично классической формуле (15.5.11) для вариации главной функции. Обозначая через можем написать

Соотношение

служит аналогом соотношения (16.5.7) и определяет значение составляющей импульса в конечной точке в зависимости от . В модифицированной теореме Гамильтона — Якоби (16.5.5) — (16.5.7) характеристическая функция К выполняет роль, аналогичную роли главной функции в основной теореме Гамильтона — Якоби.

Сравнение характеристической функции Гамильтона с главной функцией показывает, что последняя обладает большей простотой. Поясним это на простом примере. Рассмотрим плоское движение частицы в однородном поле. Если задать начальную точку и конечную точку а также начальный и конечный моменты времени то движение частицы тем самым будет полностью определено. Отсюда следует, что функция будет однозначной функцией пяти аргументов: и будет определена для всех значений аргументов. (В § 15.9 мы ее вычисляли.) Если же мы зададим точки и постоянную энергии то можем получить либо две траектории, либо одну, либо ни одной. Таким образом, функция К будет многозначной функцией своих пяти аргументов: и определена она будет лишь для некоторых значений аргументов. Выражение для К для рассматриваемой задачи будет дано позже (§ 27.10).