§ 27.9. Теорема Кельвина.

Вернемся к рассмотрению системы с степенями свободы, пространство конфигураций которой имеет метрическую структуру, определяемую формулой (27.7.3). Можно дать очень простую интерпретацию импульса такой системы. Имеем

откуда следует, что импульс есть ковариантный вектор, соответствующий вектору скорости который является контравариантным. Условие ортогональности смещения и скорости выражается равенством

или, короче,

Рассмотрим в пространстве конфигураций семейство траекторий, характеризуемых одной и той же энергией В этом случае формула (27.6.3) для вариации характеристической функции принимает вид

Предположим теперь, что траектории с энергией все выходят из заданной точки пространства конфигураций. Начальная скорость при этом для всех траекторий одинакова по величине, поскольку

но различна по направлению. Имеем

и если представляют перемещение вдоль поверхности то

откуда следует, что траектория пересекает поверхность под прямым углом. Поверхность представляет геометрическое место точек принадлежащих различным траекториям и таких, что интеграл действия взятый вдоль соответствующих траекторий от точки до точки имеет одно и то же значение k. Поверхности К — к называют поверхностями равного действия относительно точки Таким образом, мы приходим к выводу, что семейство траекторий постоянной энергии, начинающихся в данной

точке, ортогонально поверхностям равного действия относительно этой же точки. Это утверждение составляет первую часть теоремы Кельвина.

Рассмотрим теперь точки принадлежащие «поверхности»

где Возьмем в пространстве конфигураций траектории с заданной энергией выходящие из точек перпендикулярно к этой поверхности с одной ее стороны. Если есть вектор перемещения по поверхности то согласно условию перпендикулярности

и уравнение снова показывает, что

Траектории пересекают поверхности под прямым углом. Семейство траекторий, характеризуемых одной и той же энергией и выходящих из точек поверхности под прямым углом к ней, ортогонально поверхностям причем приращение функции действия между этими поверхностями одинаково для всех траекторий. В этом состоит вторая часть теоремы Кельвина.

Поверхность является огибающей поверхностей равного действия относительно точек поверхности Поверхность равного действия К — к относительно точки задается уравнением вида

Яги текущие координаты. Для точек

при условии

Отсюда получаем соотношение

показывающее, что (ковариантный) вектор имеет направление нормали к поверхности Точка касания поверхности (27.9.11) с огибающей расположена на траектории, выходящей с поверхности под прямым углом к ней.

Укажем на тесную связь между полученными результатами и принципом Гюйгенса в оптике. Траектории частицы в оптике соответствует световой луч, а поверхности равного действия — волновой фронт. Волновой фронт является огибающей частичных волновых фронтов, расходящихся от точек, которые лежали на поверхности волнового фронта в предшествующий момент времени. Различие заключается в том, что в задачах динамики мы имеем дело с приращением функционала действия, а в задачах оптики — с приращением времени.

Как правило (за исключением простейших случаев), определить поверхности равного действия бывает весьма трудно. Приведем два примера, не требующих сложных вычислений.

1) Частица движется в обычном трехмерном пространстве без действия на нее сил. Траекториями являются прямые, скорость вдоль которых равна Интеграл

действия равен

где длина отрезка от точки до точки Поверхностями равного действия относительно точки являются сферы с центром в этой точке; поверхность представляет сферу радиуса Если за исходную принять произвольную поверхность то поверхностями равного действия будут параллельные поверхности, получающиеся из путем смещения ее вдоль нормали на расстояние

2) Частица движется по гладкой поверхности при отсутствии активных сил. Траекториями в этом случае будут геодезические линии, а поверхностями равного действия относительно точки геодезические круги с центром в