§ 6.12. Инвариантность уравнений Лагранжа.

Тот факт, что уравнения Лагранжа для голономной системы имеют одну и ту же форму, каковы бы ни были описывающие систему лагранжевы координаты, является очевидным, поскольку эти уравнения выводятся из основного уравнения (§ 6-2) или из принципа Гамильтона (§ 6.3). Тем не менее представляет интерес непосредственное доказательство инвариантности уравнений Лагранжа.

Рассмотрим взаимно однозначное преобразование лагранжевых координат к новым координатам связанным с первыми соотношениями

где Нам понадобятся две леммы, аналогичные (6.1.3) и (6.1.4), а именно:

Если

то

и

Отсюда

Определитель не обращается в нуль, откуда и следует инвариантность уравнений.