§ 13.7. Качение шара по неподвижной поверхности.

Будем предполагать, что поверхности идеально шероховатые, чтобы не допустить скольжения. Таким образом, будем считать, что имеет место чистое качение. Возьмем подвижные оси координат с началом в центре шара Будем предполагать, что шар твердый и однородный или во всяком случае, что центр тяжести его совпадает с геометрическим центром, а эллипсоид инерции в этой точке представляет собой сферу. Ось направим вдоль прямой, соединяющей точку соприкосновения шара с центром шара; тогда координаты точки соприкосновения будут , где а — радиус шара. Условия качения запишутся в виде

где скорость центра тяжести угловая скорость шара. Составляющие ускорения точки будут равны

Составляющая несущественна, так как не содержит Следовательно

Если момент заданных сил относительно точки соприкосновения обозначить через те работа, совершаемая на виртуальном перемещении, будет равна

где Число степеней свободы системы равно трем, и функция выражена нами через три переменные так что уравнения движения записывайся в следующей форме:

Отсюда получаем

Обозначив сумму через В (тогда В будет моментом инерции шара относительно касательной), перепишем уравнения движения. (13.7.6) в форме

Рис. 38.

Рассмотрим конкретный пример: качение однородного твердого шара радиуса а по внешней стороне неподвижной сферической поверхности радиуса . Выберем оси так, как показано на рис. 38 (ось горизонтальна). Имеем

Последнее уравнение (13.7.7) показывает, что скажем

Два первых уравнения (13.7.7) теперь принимают вид

Угловая скорость подвижной системы осей имеет составляющие

Для однородного твердого шара имеем

Подставляя эти значения в (13.7.11), получаем

Эти уравнения определяют значения и для любого момента времени. Умножая уравнение (13.7.14) на и интегрируя, получаем

Уравнения (13.7.15) и (13.7.16) идентичны с уравнениями (8.6.6) и (8.6.7), описывающими движение оси вращающегося волчка. При и постоянной в правой части (13.7.16), равной они в точности совпадают. Кроме того, известно, что уравнения движения оси вращающегося волчка являются уравнениями Лагранжа, полученными из функции Рауса при исключении циклической коордйнаты Уравнение же (13.7.15) есть уравнение Лагранжа для , а соотношение (13.7.16) — интеграл количества движения для полученный из функции Лагранжа