§ 13.10. Уравнения Эйлера.

Обратимся теперь к некоторым задачам о движении твердого тела, в которых оси координат мы свяжем с телом. Начнем с задачи о движении тела в пространстве под действием заданной системы сил. Возьмем систему координат с началом в центре тяжести и осями направленными по главным осям инерции в точке Рассматриваемая система голономна и имеет шесть степеней свободы; в качестве шести координат выберем координаты центра тяжести относительно неподвижной системы и координаты производные которых представляют собой составляющие вектора угловой скорости тела по осям Из этих шести координат являются лагранжевыми, в общем случае представляют собой квазикоординаты. Функция Гиббса имеет вид (см. §

Действующие на тело силы эквивалентны силе, приложенной в точке и некоторой паре. Пусть составляющие главного вектора по осям составляющие главного момента по осям Уравнения движения запишутся в следующей форме:

Мы видим, что уравнения распадаются на две группы: первая группа уравнений (13.10.2) описывает движение центра тяжести вторая группа (13.10.3) — изменение ориентации тела. Этот факт составляет содержание классической теоремы о независимости параллельных переносов и вращений. Движение центра тяжести тела описывается так же, как движение материальной точки массы под действием силы, равной главному вектору всех сил,

действующих на твердое тело. Уравнения (13.10.3), описывающие вращение твердого тела, представляют знаменитые уравнения Эйлера, полученные им в 1758 г.

Уравнения Эйлера (13.10.3) можно применить также к задаче о вращении тела около неподвижной точки О. В качестве осей в этом случае берутся главные оси инерции в точке О, а символы обозначают моменты инерции тела относительно этих осей.