§ 18.18. Неортогональные и ненатуральные разделимые системы.

Системы, для которых справедлива теорема Штеккеля, принадлежит к классу натуральных и ортогональных систем. Функция кинетической энергии для таких систем представляет однородное квадратичное выражение от более того, это выражение содержит одни

лишь квадраты. Существуют, однако, разделимые системы, которые не являются ни ортогональными, ни даже натуральными системами (так что для этих систем функция имеет вид ).

Выше (в § 16.11) мы уже встречались с примером натуральной, но неортогональной системы, допускающей разделение переменных; такой системой являлся вращающийся волчок. Выбирая в качестве координат эйлеровы углы и считая функцию V зависящей только от (как это имеет место в обычных условиях, когда волчок движется под действием силы тяжести, а ось направлена вертикально вверх), получаем систему, в которой переменные разделяются. В этой задаче обе координаты и являются циклическими, что весьма существенно для вопроса о возможности разделения переменных.

Если исключить только координату и составить функцию Рауса, то получится Ненатуральная система с двумя степенями свободы. Эта система также допускает разделение, если считать, что функция V зависит только от 0. В соответствии с формулой (10.5.12) имеем

Составим функцию Гамильтона. Определив импульсы по формулам

Найдем

Модифицированное уравнение в частных производных имеет вид

Полный интеграл имеет форму

где функция удовлетворяет уравнению

Таким образом, ненатуральная системы (18.18.1) допускает разделение переменных.