§ 9.6. Устойчивость установившегося движения.

Понятие об устойчивости мы до сих пор связывали с отклонениями от положения равновесия, однако его можно обобщить, если рассматривать отклонения от заданного движения.

Положение равновесия устойчиво, если при достаточно малом отклонении система остается вблизи этого положения и скорость ее при этом остается малой. Чтобы выразить это формально, введем функцию

Здесь координаты, относящиеся к положению равновесия. Положение а устойчиво, если любому сколь угодно малому положительному числу можно поставить в соответствие положительное число такое, что если то при

Дадим теперь определение устойчивости движения: движение является устойчивым, если, получив малое возмущение, оно остается близким, в известном смысле, к невозмущенному движению. Понятие об устойчивом движении сложнее, чем понятие об устойчивом равновесии; общую теорию устойчивости движения мы рассмотрим в гл. XXIII. Однако имеется класс задач, теория которых достаточно проста. Для них можно указать простой способ проверки устойчивости движения, аналогичный способу проверки устойчивости равновесия по минимуму потенциальной энергии.

Рассмотрим гироскопическую систему, т. е. натуральную систему, несколько лагранжевых координат которой являются циклическими (§ 6.11). Пусть циклические координаты, нециклические, или явные координаты. Нам известны первых интегралов системы, именно циклических интегралов, соответствующих циклическим координатам:

и интеграл энергии

Движение, при котором скорости и координаты имеют постоянные значения, является установившимся. При этом движении явные координаты удовлетворяют уравнениям

Функция получается из если величинам придать постоянные значения, соответствующие установившемуся движению, а величины положить равными нулю.

Примерами установившегося движения могут служить движение частицы в центральном поле по круговой орбите, круговое движение сферического маятника и установившаяся прецессия вращающегося волчка.

Пусть мы имеем установившееся движение, в котором циклические интегралы равны а явные координаты равны Рассмотрим возмущенное движение, при котором остаются неизменными, а начальные значения величин

малы. Если они будут оставаться малыми в течение всего времени движения, то мы будем говорить, что иходное установившееся движение является устойчивым. Более точно, установившееся движение называется устойчивым, если для любого заданного положительного числа можно указать положительное число такое, что если то при функция имеет вид

Циклические интегралы (9.6.1) можно записать в следующей форме:

Правые части этих равенств для краткости запишем в виде

Матрица размером неособенная, поэтому уравнения (9.6.5) можно разрешить относительно Если обратную матрицу обозначить через то можно написать

Кинетическую энергию можно выразить не через а через Тогда будем иметь

где через обозначена квадратичная форма от она определенно-положительна, так как если каждое положить равным нулю. Уравнение энергии (9.6.2) принимает теперь вид

Здесь

Таким образом, во время движения

и рассуждения, аналогичные проведённым при исследовании колебаний около положения равновесия (§ 9.1), показывают, что установившееся движение является устойчивым, если функция достигает в точке минимума.

Функция стационарна в установившемся движении независимо от того, устойчиво оно или нет. В самом деле, уравнения

эквивалентны уравнениям (9.6.3). Для доказательства заметим, что

Рассматривая малые отклонения от установившегося движения, имеем

Следовательно,

откуда видно, что уравнения (9.6.12) эквивалентны уравнениям (9.6.3). Теперь ясно, как находить установившиеся движения и исследовать их устойчивость. В выражении для мы от перейдем к положим равными нулю. В результате получим . В установившемся движении как функция от принимает стационарное значение; если имеет минимум, то движение устойчиво.

Пример Центральное поле. Частица движется под действием притяжения к центру с силой на единицу массы. Имеем

Координата является циклической, и соответствующий циклический интеграл имеет вид

откуда

В установившемся движении (круговая орбита) функция имеет стационарное значение:

Движение устойчиво, если

В силу равенства (9.6.19) условие (9.6.20) эквивалентно неравенству что и является условием устойчивости. Равенство (9.6.19) очевидно и из элементарных соображений, поскольку для круговой орбиты

Пример 9.6В. Конический маятник. Для сферического маятника (§ 5.3) при измерении угла от направленной вниз вертикали имеем

или

Координата является циклической, и соответствующий циклический интеграл равен

Отсюда получаем

и установившееся движение является устойчивым. Устойчивость его можно доказать на основании § 5.2 без ссылки на общую теорию. В установившемся движении нули функции совпадают и кривая касается оси в точке (см. рис. 5). Влияние малого возмущения сказывается в том, что оно изменяет кривую таким образом, что она пересекает ось в двух почти совпадающих точках. Движение при этом происходит в узком сферическом поясе вблизи первоначальной окружности.

Пример 9.6С. Прецессия вращающегося волчка. Как мы видели в § 8.6, имеются два возможных установившихся движения волчка, ось которого наклонена под любым заданным углом а к направленной вверх вертикали, при условии, что Рассуждения, подобные только что проведенным для сферического маятника, показывают, без ссылок на общую теорию, что эти установившиеся движения устойчивы. Для установившегося движения кривая на рис. 19 касается оси малое возмущение изменяет этот график таким образом, что он пересекает ось в двух почти совпадающих точках.

Получим теперь этот результат из общей теории. Имеем

Циклические интегралы, соответствующие циклическим координатам имеют вид

Для получаем следующее выражение:

где, как и ранее, через обозначено а через обозначено Обозначая, кроме того, через получаем

и установившееся движение будет устойчивым. Обращение в нуль производной в установившемся движении равносильно условию (8.9.4).