§ 30.4. Уравнения Гамильтона.

Особый интерес представляет случай, когда уравнения (30.2.1) имеют гамильтонову форму и существует пара чисто мнимых собственных значений, одинаковых по величине и противоположных по знаку. Начнем с того, что совершим линейное преобразование (см. § 25.10) и приведем члены низшего (второго) порядка в функции Гамильтона к виду

Собственными значениями будут -Хпг а фундаментальной парой собственных. значений теперь будут вместо составлявших фундаментальную пару в предыдущих параграфах. Когда члены в функции имеют форму (30.4.1), уравнения движения принимают вид (30.2.10).

Обозначим через К результат замены в формуле для величин их выражениями через

Из уравнения энергии получаем

Напомним, что суть функции от Легко видеть, что К также будет функцией . Если эту функцию представить в форме степенного ряда по , то единственным членом второго порядка будет Но если К имеет вид

где то из уравнения (30.4.3) получаем

Определяя коэффициенты шаг за шагом, обнаруживаем, что если Таким образом, К есть функция от , скажем и уравнение (30.4.3) принимает вид

Следовательно,

что очевидно также из (30.4.5). Далее имеем

и, стало быть, сохраняет в процессе движения постоянное значение; являющиеся функциями со, также постоянны. Следовательно,

Если выбрать так, чтобы то, как и в § 30.3 будут комплексно-сопряженными, и так как и то будем иметь

Уравнения

при достаточно малых определяют семейство периодических решений уравнений Гамильтона. Выражение можно записать в форме где вещественное и положительное число; тогда, изменив начало отсчета времени, будем иметь

(Матрицу С можно взять в такой форме, чтобы Период равен и так как

то при период стремится к значению При этом периодическое движение стремится к равновесному решению. Координаты могут

быть выражены рядами Фурье вида

Для случая мы уже указывали ряд примеров семейств периодических траекторий в окрестности особой точки типа центра: пример 19.10А(1) (рис. 86), пример (рис. 87), пример 19.11А (рис. 89). В примере 19.10А(1) период каждого из периодических движений точно (а не приближенно) равен . В примере 19.10С период приближенно равен и при а стремится к

Доказанная теорема относится к системам, которые либо имеют форму Гамильтона, либо могут быть приведены к ней. В других случаях семейства периодических орбит может и не существовать (см. пример 19.10А(2), пример 19.10А(3) или пример 19.10В).

Пример 30.4. Простой иллюстрацией для может слуядагь случай, когда функция Гамильтона имеет вид (21.16.11):

где и Уравнениями движения являются

Начало координат представляет собой особую точку типа центра и, как было показано, является положением неустойчивого равновесия. Собственные значения равны

и необходимые условия, как видим, выполняются: отношение не является целым числом. В окрестности начала координат существует семейство периодических орбит с периодами, равными приближенно

Легко непосредственно убедиться в существовании такого семейства. В самом деле, уравнения движения (30.4.15) удовлетворяются, если тождественно равны нулю, удовлетворяют уравнениям

Таким образом, имеем семейство периодических траекторий, для которых

В этом простом случае период каждого из движений точно (а не приближенно) равен кроме того, траектории существуют для сколь угодно больших значений а не только вблизи начала О.

Если же вместо взять в качестве фундаментального собственного значения, то положение полностью изменится. Изложенная теория в этом случае неприменима, поскольку поэтому нет оснований ожидать наличия периодических решений с периодами, близкими к Действительно, легко видеть, что таких решений не существует: не может быть периодического решения, если в начальный момент (а стало быть, и в течение всего времени) не выполняются условия

Полагая находим

В справедливости этого равенства легко убедиться непосредственно из дифференциальных уравнений для Отсюда следует, что в течение всего движения, так как если бы в какой-нибудь момент оказалось, что то оно оставалось бы нулем все время. Итак, и движение не может быть периодическим.