§ 5.5. Уравнение Кеплера.

Из теоремы о сохранении момента количеств движения следует, что быстрота изменения площади, ометаемой радиус-вектором, постоянна: за каждую секунду ометается площадь, равная у а.

В случае центральной орбиты эта площадь пропорциональна времени, что позволяет получить соотношение между координатой частицы на орбите и временем.

Рис. 8.

Рассмотрим эллиптическую орбиту. Период равен где А — площадь эллипса, так что

где среднее движение равно

Время прохождения частицы от перигелия А до точки эллипса определяется из соотношения

где площадь эллиптического сектора Эллипс можно рассматривать как ортогональную проекцию некоторой вспомогательной окружности (рис. 8). Как известно, отношение площадей при ортогональном проектировании не меняется. Таким образом, если точка окружности, проекция которой есть то

где площадь кругового сектора площадь круга. Площадь сектора равна площади сектора минус площадь треугольника

где эксцентрический угол в составленный отрезками и СА. Таким образом, приходим к равенству

которое с учетом (5.5.1) дает

Это соотношение носит название уравнения Кеплера; в § 5.2 оно нами было получено другим способом. Уравнение Кеплера устанавливает связь между координатой частицы на эллиптической орбите и временем.

Приведенный вывод уравнения Кеплера, возможно, является наиболее естественным, поскольку в нем используется эксцентрический угол. Однако уравнение Кеплера можно получить и не основываясь на геометрии эллипса. Один такой способ нами уже был указан в § 5.2. Приведем еще более простой вывод. Если за координатные оси взять оси эллипса, то координаты его точки будут равны Если теперь перейти к новым осям, параллельным этим, но с началом в точке то будем иметь

и

или

и мы снова приходим к формуле (5.5.6).

Полярные координаты легко выразить через угол Отсчитывая углы от линии получаем

где Соотношение между можно получить, например, исключая из (5.5.6) и (5.5.10) (см. § 18.14).