§ 30.7. Системы, содержащие параметр.

Рассмотрим системы, для которых функции в уравнениях движения содержат параметр Уравнения записываем в форме

Функции предполагаются регулярными в некоторой области изменения (комплексных) переменных Пуанкаре поставил следующий вопрос: «Предположим, что для некоторого значения параметра периодическое решение существует. Можно ли тогда утверждать, что периодические решения существуют для значений достаточно близких к Без потери общности можно считать значение равным нулю, тогда задача Пуанкаре принимает следующую формулировку: «Предположим, что при существует периодическое решение. Существуют ли тогда периодические решения при достаточно малых значениях

Рассмотрим в качестве иллюстрации ограниченную задачу трех тел (гл. XXVIII). Предположим, что при фиксированных значениях параметров а и I мы в состоянии изменять величину отношения так, чтобы угловая скорость со при этом имела постоянное значение (см. (28.2.1)). Положим Значение соответствует так что при задача о движении планетоида становится эквивалентной задаче о движении частицы в ноле ньютоновского притяжения к неподвижному центру. В этом случае периодическое движение, разумеется, существует (во вращающейся системе координат). Существуют, например, эллиптические орбиты (относительно фиксированных осей) с периодом обращения что особенно важно для наших целей, существуют равномерные круговые движения около центра А (который при совпадает с Спрашивается, существуют ли периодические движения для достаточно малых положительных значений

Общее решение уравнений движения возьмем в виде (см.

где есть вектор х при Будем пользоваться обозначениями § 21.5, в частности, производную обозначим через Начнем с известного периодического решения (для оно не является равновесным решением: если то решение, начинающееся из точки является периодическим с периодом а. Тогда для любого значения t будем иметь

Последнее из этих соотношений можно упростить. В самом деле, сказать, что равенство (30.7.5) выполняется для всех значений это тоже самое, что сказать, что оно выполняется для одного какого-нибудь значения t. Это является следствием единственности решения. Поэтому уравнение (30.7.5) можно заменить более простым:

Пуанкаре первый поставил вопрос: «Существуют ли периодические решения с тем же периодом а, если в уравнениях движения имеет не нулевое значение, а малое значение, отличное от нуля?» Такие орбиты существуют, если при заданном можно найти такие что будут выполняться следующих уравнений:

Если то, как мы знаем, уравнения (30.7.7) имеют рёшения и для достаточно малых мы можем найти решения, если определитель матрицы

отличен от нуля для Обозначим эту матрицу через

Таким образом, если

то уравнения (30.7.7) можно разрешить относительно Разности являются функциями от и при они равны нулю, так что каждую из них можно представить в виде ряда по степеням без постоянного члена.

Эти рассуждения, однако, бесполезны, поскольку на самом деле Полагая в равенстве о, получаем

В правой части этого равенства стоит нулевой вектор-столбец. Так как не равно нулю, то

Таким образом, изложенный метод не позволяет сделать вывода о существовании периодических решений с периодом а для значений близких к

Причину того, что легко усмотреть из § 21.5. Она состоит, в сущности, в том, что мы можем изменять точку А, в которой начинается орбита, от а до любой точки на орбите. Это показывает, что трудность, связанную с обращением в нуль можно обойти, если ограничить перемещение точки А плоскостью, проходящей через а и нормальной к орбите, или вообще любой поверхностью, которая не касается орбиты в точке а. Условие (30.7.3) показывает, что не все составляющие равны нулю, и, не уменьшая общности, можно считать, что

(При желании можно пойти еще дальше. Мы можем выбрать местную прямоугольную систему координат, направив ось вдоль касательной к орбите в точке а, т. е. вдоль вектора X в этой точке. Тогда все составляющие вектора X, за исключением будут равны нулю. Практически, однако, вряд ли стоит поступать таким образом.)

Поставим теперь вопрос о существовании при периодической орбиты с начальной точкой такой, что но для всех значений меньших Мы по-прежнему должны удовлетворить условиям

и условию Это означает, что период изменяет свое значение с а на Всего имеем неизвестных: . В случае как мы знаем, существует решение Составим матрицу первых столбцов которой те же, что у матрицы а последним столбцом служит вектор Если определитель этой матрицы не равен нулю, то можно найти решения (при все разности обращаются в нуль).

Можно указать примеры, в которых выполняется условие и для достаточно малых существуют периодические решения с периодом, близким к а. Однако в случаях, представляющих практический интерес, обычно и изложенный метод опять-таки не дает ответа на вопрос о существовании периодических орбит при отличном от нуля.

Обращение в нуль происходит тогда, когда существует интеграл Якоби или вообще какой-нибудь однозначный пространственный интеграл. Пусть есть такой интеграл. Частную производную обозначим через Предположим, что не является стационарной точкой функции не все производные равны нулю. Тогда в силу (21.1.9) и первых производных не могут все равняться нулю, и, расположив переменные в определенном порядке, мы всегда можем считать, что

Функция сохраняет постоянное значение на орбите, так что для любых

Дифференцируя по находим

Положив в этом равенстве перепишем его в следующей форме:

или

где обозначает матрицу-строку, элемент которой равен . С другой стороны, из уравнения (21.1.9) имеем

и из (30.7.19) и (30.7.20) находим

Отсюда в силу того, что получаем, что что и требовалось доказать.

До сих пор нам не удавалось доказать существования периодических орбит для но, несколько изменив подход к решению этого вопроса, мы можем провести это доказательство. Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических решений с периодом о. Как и ранее, положим ост и разрешим уравнений (30.7.7), где относительно переменных В результате мы их выразим как функции от Разности как обычно, представим в виде рядов по степеням без постоянных членов. Для того чтобы такое решение было возможно, необходимо, чтобы где матрица получается из путем отбрасывания строки и столбца. Если удовлетворяются все уравнения (30.7.7), кроме одного, то это последнее уравнение будет удовлетворяться автоматически благодаря интегралу Якоби. Это утверждение геометрически совершенно очевидно. Чтобы получить формальное доказательство, обозначим через Тогда будем иметь для всех кроме Поскольку есть интеграл,

где для всех кроме причем лежит между Но так что для достаточно малых имеем Отсюда следует, что и оставшееся уравнение (30.7.7) также удовлетворяется. Таким образом, если то для существуют периодические орбиты с периодом .

Наконец, если то существуют периодические решения с заданным периодом где о достаточно мало, но не равно нулю, и такие, для которых постоянное значение интеграла то же, что и для первоначальной периодической орбиты. Присоединим к уравнениям (30.7.14), где уравнение

Разрешив эти уравнений относительно переменных найдем, что разности о представляются рядами по степеням без постоянных членов. Решение возможно при условии, если определитель причем матрица К получается из матрицы

при отбрасывании строки и столбца. Но строка линейным образом зависит от остальных строк (см. (30.7.19) и (30.7.20)), а столбец линейным образом зависит от остальных столбцов (см. (30.7.ll} и (30.7.20)). Поэтому наше условие заключается в том, чтобы матрица (30.7.24) имела ранг Если это условие выполнено, то при существуют периодические орбиты с периодом

На первый взгляд может показаться, что проведенное исследование малопригодно для практических целей, так как для составления матрицы требуется знать решение (30.7.2) уравнений движения. Но это, однако, не совсем так. Фактически нам требуется знать лишь значения при для чего достаточно знать решение уравнений линейного приближения (уравнений в вариациях) для случая Последнее же решение всегда может быть построено (гл. XXIII). Таким образом, теория Пуанкаре дает нам практически удобный метод доказательства существования периодических решений.