§ 6.8. Явная форма интеграла Якоби.

Предположим, что условия для существования интеграла Якоби выполнены, т. е. не содержит явно и действительная скорость является виртуальной. Тогда

где

Согласно теореме Эйлера об однородных функциях

Тогда равенство (6.7.2) можно представить в виде

Мы получили явную форму интеграла Якоби.

Слагаемые входят в функцию Лагранжа равноправно, и невозможно выделить роль каждого из них в уравнениях движения. В истории развития теории магнитной энергии это обстоятельство сыграло, к слову говоря, не последнюю роль. Поэтому не вызывает удивления, что в левую часть равенства (6.8.3) эти величины входят в комбинации

Существенно, что в интеграл Якоби не входит Обратимся к примеру с вращающейся системой координат, рассмотренному § 6.7. Интеграл энергии в этом случае такой же, как в случае, когда оси не вращаются, но к заданным силам добавлены центробежные силы, иными словами, к V добавлено

Как уже было сказано, члены с не входят в соотношение (6.8.3). В некоторых случаях можно пойти дальше и доказать, что они вообще не оказывают влияния на движение и их можно отбросить в выражениях для Это имеет место тогда, когда имеет вид

В этом случае каждое из выражений

тождественно обращается в нуль (в чем нетрудно убедиться с помощью леммы (6.1.4) § 6.1). Если имеет форму (6.8.5), то оно обращается в нуль при воздействии лагранжева оператора

Этот результат имеет важное прикладное значение в задаче о движении системы во вращающихся осях. Заметим, что если

имеет форму (6.8.5), то влияние вращения на движение относительно вращающихся осей полностью учитывается введением центробежных сил. Это верно, в частности, для любой системы с одной степенью свободы. Этот факт очевиден: в случае одной степени свободы интеграл Якоби дает полное решение задачи, и этот интеграл не зависит от

В качестве конкретного примера рассмотрим скольжение бусинки по гладкой жесткой проволоке (не обязательно имеющей форму плоской кривой), которая вращается с постоянной угловой скоростью около вертикальной оси. Для описания движения бусинки относительно проволоки можно забыть о вращении проволоки и ввести добавочное поле центробежных сил где расстояние от оси вращения; это эквивалентно добавлению к V слагаемого Важный частный случай разбирается ниже в примере 6.8.

Прежде чем закончить изложение этого вопроса, укажем на одно более общее положение. Добавление выражения

к функции Лагранжа не оказывает влияния на уравнение движения. Это опять-таки следует из леммы (6.1.4). Члены в выражении для имеющие форму (6.8.6), несущественны и просто могут быть отброшены. Этот" результат является также следствием принципа Гамильтона.

Пример 6.8. Движение точки по вращающейся окружности. Пусть бусинка скользит по гладкому проволочному кольцу радиуса а, а кольцо вращается около вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью Рассмотрим движение бусинки относительно, проволоки.

Пусть будет угловым перемещением бусинки из наинизшего ее положения на проволоке (см. пример 5.2А). Интеграл Якоби будет иметь вид

или, что то же,

где Это уравнение принадлежит к типу (1.2.10); мы видели, что характер движения для различных значений можно определить по графику функции, стоящей в правой части уравнения. Если то мы приходим к задаче о плоском маятнике и уравнение (6.8.7) приводится к (5.2.2). При малых значениях график мало отличается от представленного на рис. 4 и возможные типы движения, вообще говоря, близки к типам движения плоского маятника. Критическое значение со равно и при возможные типы движения существенно отличаются от движений плоского маятника. Условие означает, разумеется, что период вращения меньше периода малых колебаний маятника. Рассмотрим поэтому случай и положим где а — острый угол. Правая часть уравнения (6.8.7) запишется теперь в виде

график этой функции представлен на рис. Кривая имеет максимумы в точках и минимум при Возможны шесть типов движения в зависимости от значений все они показаны на рисунке. (Вместо того чтобы с увеличением поднимать кривую, мы на графике обходимся одной кривой, ось х располагая тем ниже, чем больше

Рис. 9.

Это — наименьшее возможное значение Бусинка находится в покое (относительно проволоки) в положении устойчивого равновесия при или при Период малых колебаний (относительно проволоки) при нарушении равиовесия равен .

2) . Движение представляет собой либрацию между пределами (см. рисунок) или между причем

3) . Бусинка находится к покое в положении неустойчивого равновесия либо совершает лимитационное движение, при котором сначала, возможно, возрастает до значения , но затем монотонно убывает, стремясь к нулю при .

4) . В этом случае мы имеем либрационное движение между пределами (см. рисунок), близкое, вообще говоря, к либрационному движению обычного плоского маятника.

5) . Бусинка покоится в положении неустойчивого равновесия (или, что то же, либо совершает лимитационное движение, при котором при или .

6) . Если в начальный момент то все время возрастает вместе с t.

Этим перечнем исчерпываются возможные движения в рассматриваемой задаче. Тип движения зависит от того, в каком интервале значений лежит параметр и в каждом случае из уравнения (6.8.7) можно получить явное соотношение между и t.