§ 25.3. Вариация эллиптических элементов.

Задача о движении двух тел (например, Солнца и планеты) под действием сил взаимного притяжения может быть рассмотрена на основе изложенной выше теории. Здесь требуется выяснить, каково изменение во времени эллиптических элементов (§ 18.13), вызванное малым возмущением.

В свое время мы уже определили с помощью теоремы Гамильтона — Якоби связь эллиптических элементов с величинами Она выражается следующими формулами (см. (18.13.16)):

Разрешая эти уравнения относительно эллиптических элементов, получаем

Зададимся пертурбационной функцией выражая ее через переменные получаем возмущающую функцию

Составим теперь уравнения, определяющие зависимость величин от времени. Для этого перейдем в уравнениях (25.2.3) к эллиптическим элементам. Этот переход произведем в два этапа сначала выразим производные через т. е. через а затем выразим величины через

(см. скан)

Эти уравнения определяют изменение эллиптических элементов со временем.

Исследуем сначала возмущение движения планеты, вызываемое наличием другой планеты. В § 18.7 мы нашли выражение для возмущающей функции через координаты обеих планет относительно Солнца, и, чтобы использовать его в уравнениях (25.3.6), следует перейти к эллиптическим элементам планет. Всего получается двенадцать уравнений, поскольку элементы второй планеты также немного изменяются со временем. Исследование этой системы уравнений составляет одну из важнейших задач небесной механики; не имея возможности привести его здесь во всей полноте, ограничимся несколькими замечаниями.

Так как массы планет малы по сравнению с массой Солнца то решения уравнений можно искать в форме

и аналогично для остальных элементов. Здесь обозначает начальное значение имеет первый порядок относительно второй порядок и т. д. Об этих величинах можно говорить как о возмущениях первого и второго порядка, и аналогично для других элементов. Если мы хотим ограничиться возмущениями первого порядка, то вычисления упрощаются, поскольку функция сама имеет первый порядок и в правых частях уравнений (25.3.6) элементы обеих планет можно считать постоянными и равными их начальным значениям. Правые части (25.3.6) с принятой степенью точности можно считать известными функциями от и решение этих уравнений может быть найдено по способу механических квадратур.

Наиболее распространенный способ отыскания решения общей задачи состоит в разложении функции в ряд вида где

Здесь целые числа, положительные, отрицательные или нули, а коэффициенты С зависят от шести параметров: Во многих приложениях достаточно бывает нескольких членов, чтобы получить высокую точность приближения. Тем не менее некоторые теоретические вопросы, например вопрос о сходимости остаются пока нерешенными.

В более общих задачах о движении планет функция К задается рядом

где малый постоянный параметр, коэффициенты С зависят от а функции определяются выражениями

где целые числа, положительные, отрицательные или равные нулю. Будем предполагать сначала, что ни одно из чисел не равно нулю. Вариации параметров определяются уравнениями (25.2.3).

В этой задаче удобно перейти от переменных к переменным посредством контактного преобразования с производящей функцией

Уравнения (24.3.3), (24.3.4) принимают при этом вид

Отсюда получаем

Кроме того,

Новой функцией Гамильтона будет функция

записанная в переменных а Здесь отличаются от от на величину порядка поэтому новая функция Гамильтона имеет порядок

Если в разложении функции К содержатся члены с то соответствующие члены в (25.3.11) следует опустить. Кроме того, бывает удобно опустить также и долго - периодические члены, т. е. члены с малыми, но отличными от нуля значениями Важно отметить, что короткопериодические члены порядка исчезают из выражения функции Гамильтона в результате канонического преобразования.