§ 16.13. Электрон в центральном поле.

Предположим, что электрон, масса которого переменна (см. (11.1.1)), движется в плоскости под действием притяжения к началу координат; потенциал поля обозначим через В полярных координатах функция Гамильтона (см. (11.4.12)) запишется в виде

Это — не обычное выражение, в котором есть квадратичная функция от но тем не менее метод Гамильтона — Якоби остается справедливым.

Модифидированное уравнение в частных производных имеет вид

Полный интеграл ищем в виде

Это выражение удовлетворяет уравнению (16.13.2), если

Обозначая правую часть (16.13.4) через получаем следующее выражение для полного интеграла:

(мы здесь воспользовались обозначениями § 16.9). Решение задачи Гамильтона дается уравнениями

Но согласно (11.4.9) имеем

Рассмотрим подробнее случай ньютоновского притяжения, когда. Функция в этом случае имеет вид

Будем считать, что если частица начинает движение со скоростью и из точки, находящейся на расстоянии к от точки О, то согласно (11.4.5) будем, иметь

и условие будет выполняться, если

мы приходим к известному условию, определяющему эллиптическую орбиту в случае постоянной массы: Можно принять, что эти неравенства обычно всегда выполняются, вследствие того что с велико. При этих условиях функция зависящая от по квадратичному закону, имеет два вещественных положительных нуля и

где

Уравнение траектории имеет вид

Полагая

находим

и уравнение принимает вид

При это есть уравнение эллипса. В действительности же 1, и траектория оказывается незамкнутой; для того чтобы значение повторилось, угол должен увеличиться на

Если начальная точка, отстоящая от начала О на расстоянии к, есть апсида, то формулы упрощаются: к становится равным одному из апсидальных расстояний или и мы эту величину берем в качестве нижнего предела интегралов, кроме того,

и

Если

то апсидальное расстояние будет расстоянием до перигелия; при это неравенство принимает хорошо известную форму: