§ 7.9. Сложение вращений.

Рассмотрим два последовательных вращения: поворот на угол а около оси и последующий поворот на угол около оси . В результате мы получаем поворот на угол около оси величина у и положение оси подлежат определению.

1. Начнем с простого геометрического решения. Пусть и имеют единичную длину, так что точки расположены на единичной сфере с центром в точке О. Построим на ней сферический треугольник (рис. 15) с углами Результирующее перемещение есть вращение около оси В самом деле, первое вращение переносит частицу тела, находившуюся первоначально в точке С, в точку С, а второе вращение возвращает эту частицу обратно в точку С. Заметим, что в изображенном треугольнике вершины обходятся по ходу часовой стрелки и поворот около оси происходит не от к а от к

Рис. 15.

Для определения у построим треугольник представляющий собой зеркальное отображение треугольника относительно При первом повороте частица тела, находившаяся в точке А, остается неподвижной, при втором повороте она переходит в точку А, и, следовательно, угол у оказывается равным углу Таким образом, или, что то же, поскольку поворот на угол возвращает тело в первоначальное положение.

Полученный результат можно представить в более наглядной форме. Если сферический треугольник (с обходом вершин по движению часовой стрелки, если смотреть снаружи сферы), то поворот на угол около оси и последующие повороты на угол около оси и на угол около оси возвращают тело в его первоначальное положение. Эта теорема была доказана Гамильтоном в 1844 г.

Рассмотрим сферический треугольник и, пользуясь обычными обозначениями сферической тригонометрии, напишем

Отсюда получаем

где угол между двумя осями вращения.

Следует иметь в виду, что эти два поворота не коммутативны. Если их производить в обратном порядке, то осью результирующего вращения будет ось

2. Формула результирующего поворота. Пусть вектор поворота имеющий величину и направленный по характеризует первое вращение, а вектор поворота имеющий величину и направленный по характеризует второе вращение. Результирующее вращение на угол у около оси можно описать вектором поворота имеющим величину у и направленным по Результат последовательного выполнения двух вращений однозначно определяется формулой результирующего поворота

Эта формула перестает быть справедливой, если в этом случае угол у составляет целое кратное от .

В частном случае, когда оси двух последовательных вращений образуют между собой прямой угол, и формула результирующего поворота принимает более простой вид:

Формула (7.9.2) показывает, что вектор не компланарен с векторами как уже отмечалось выше, результат двух последовательных вращений зависит от того, в каком порядке они осуществляются. Поэтому ясно, что величину (где угол поворота) в определении вектора поворота нельзя заменить какой-либо другой функцией от таким образом, чтобы результат (физическая сумма) двух вращений представлялся векторной суммой двух векторов. Вращения можно характеризовать различными способами при помощи направленных величин вдоль осей вращения, но эти направленные величины не будут векторами в обычном смысле, поскольку они не удовлетворяют правилу сложения векторов. Таким образом, «вектор поворота», по существу, не является вектором.

Доказательство, использующее полуобороты. Как мы видели в § 7.7, полуоборот около единичного вектора и последующий полуоборот около единичного вектора равносильны повороту тела на угол около вектора и XV, причем угол между векторами .

и При этом вектор поворота определяется формулой

где . Таким образом, если - любой вектор, перпендикулярный к то можно найти единичный вектор и такой, что первое вращение будет эквивалентно полуобороту около вектора и последующему полуобороту около вектора

где а. Аналогично, если любой единичный вектор, перпендикулярный к то второе вращение будет эквивалентно полуобороту около вектора и последующему полуобороту около вектора

Выберем теперь в качестве вектора единичный вектор, перпендикулярный одновременно к и к Результирующее перемещение будет осуществляться путем полуоборота около вектора и, следующего за ним полуоборота около еще одного полуоборота около наконец, полуоборота около Два последовательных полуоборота около не производят никакого перемещения, и потому их можно не учитывать. Тогда результирующее перемещение будет осуществляться посредством полуоборота около и следующего за ним полуоборота около Таким образом

поскольку

Из формулы (7.9.1) находим

откуда получаем

Доказательство, использующее кватернионы. Для первого поворота используем кватернион (см. § 7.8)

а для второго — кватернион

При первом повороте точка тела, имевшая первоначально радиус-вектор переходит в положение, определяемое а при втором повороте — в положение, определяемое при этом

и

где

Кватернион определяющий результирующее вращение, равен

Сравнивая формулы (7.9.14) и (7.9.15), находим

и

Соотношения (7.9.16) и (7.9.17) тоже приводят нас к равенству (7.9.2).

Совершив повороты в обратном порядке, мы получим формулу, отличающуюся от (7.9.2) лишь знаком перед векторным произведением в правой части. Как уже указывалось, различие в выражениях для связано с изменением направления вектора

Пример Найти результат трех последовательных поворотов: поворота на угол около оси за которым следуют поворот на угол около оси а затем поворот на угол около оси

Положим Операции, осуществляемые эквивалентны операции, осуществляемой

а операции, осуществляемые операции, осуществляемой

Этот результат легко получить также и с помощью кватернионов. Имеем

где Полученная нами формула эквивалентна соотношению

в котором направляющие косинусы оси результирующего вращения, а у — угол результирующего поворота. Величина вектора равна , а направление его определяется направляющими косинусами

Сравнивая (7.9.20) и (7.9.21), приходим к (7.9.19). Отметим, что

и формула поворота, определяемого вектором приобретает вид (см. (7.6.2))

Пример Найти результат трех последовательных поворотов: поворота на угол около оси за которым следуют поворот на угол и на около оси

Поступая, как в предыдущем примере, находим

где формула поворота имеет вид