Глава XXVII. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

§ 27.1. Вариация действия.

В этой главе мы рассмотрим вариационный принцип иного типа — так называемый принцип наименьшего действия. Мы будем предполагать, что выполняются условия, сформулированные в § 26.6, а именно что система является катастатической, связи между не зависят от t и функция не содержит время. При этом исчезает различие между возможными и виртуальными перемещениями и, кроме того, существует интеграл энергии

где знак 2 означает суммирование от до

Отличительной чертой излагаемой здесь теории является то, что на варьируемые движения накладывается ограничение, состоящее в том, что для них сохраняет постоянное значение. Варьированное движение получают, сообщая в каждый момент t виртуальное перемещение относительно действительного движения, причем положению соответствует момент времени . В общем случае продолжительность варьированного движения отличается от продолжительности исходного движения. Варьированное движение в общем случае не является динамически возможным движением, а в случае неголономной системы оно не является даже геометрически возможным. Единственное ограничение, которому подчинено это движение, заключается в требовании постоянства полной энергии. Мы будем по-прежнему предполагать, что вариации являются функциями от t класса

Определим действие как интеграл

вычисляемый вдоль траектории в -пространстве. Выражение (27.1.2) эквивалентно следующему:

Для натуральной системы последний интеграл записывается в форме

Основная теорема состоит в том, что при указанной выше вариации

где есть (постоянное) значение на варьированном пути. Приведем два доказательства этого результата.

1) Согласно (26.4.4) имеем

Но

так что (27.1.6) принимает форму

Последнее эквивалентно

Теорема, таким образом, доказана.

2) Из уравнения (26.5.5) имеем

Но вдоль исходного пути

Аналогичное соотношение будет справедливо и для варьированного пути, если постоянную заменить на . Таким образом, соотношение (27.1.10) принимает вид

что и доказывает теорему.

§ 27.2. Принцип наименьшего действия.

Из основной теоремы (27.1.5) получаем, что при фиксированных концевых точках и

В этом заключается принцип наименьшего действия. Таким образом, для истинной траектории действие имеет стационарное значение по сравнению с его значениями на варьированных траекториях с теми же концевыми точками -пространстве) и той же энергией.

Этот принцип проще всего проинтерпретировать на примере голономной системы, когда не возникает затруднений, связанных с возможностью нарушения уравнений связей. Рассмотрим семейство х путей, соединяющих начальное и конечное положения системы и характеризуемых одним и тем же значением энергии равным Для действительного пути действие имеет стационарное значение по сравнению с теми значениями, которые оно принимает для других кривых рассматриваемого семейства.

Принцип наименьшего действия обычно приписывают Мопертюи, чье сочинение «Essai de Gosmologie» вышло в свет в 1751 г. В действительности же высказывания Мопертюи основывались на метафизических соображениях и носили туманный и ненаучный характер. Впервые в удовлетворительной форме принцип наименьшего действия был сформулирован Эйлером.

Подобно принципу Гамильтона (§ 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из него можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал принимает стационарное значение в классе кривых

удовлетворяющих дифференциальному уравнению

Будем рассматривать кривые в -мерном пространстве при фиксированных начальных значениях и фиксированных конечных значениях но свободном конечном значении времени

В решении задачи Лагранжа используется правило множителей, на которое мы уже ссылались в §§ 26.1 и 26.2. Требуется составить условия стационарности функционала где

а К есть функция от подлежащая определению. Условием на верхнем пределе будет

при

Необходимые условия стационарности функционала даются уравнениями Эйлера:

Их можно записать в форме

Умножая уравнение на и суммируя по от 1 до получаем

Следовательно,

где обозначает сумму а сумму Таким образом,

Левая часть этого равенства тождественно равна нулю, а правая часть эквивалентна выражению

Следовательно, величина остается постоянной вдоль траектории, и концевое условие (27.2.4) показывает, что эта постоянная равна нулю. Поэтому для всех значений Отсюда следует, что уравнения (27.2.6) равносильны уравнениям движения Лагранжа.