§ 19.10. Движение в окрестности центра.

Здесь мы рассмотрим критический случай. Выше было установлено, что в окрестности особых точек типа узла, седла и фокуса движение происходит, по существу, так же, как если бы оно описывалось соответствующим линейным приближением. Однако для особой точки типа центра это не имеет места. В этом случае линейное приближение дает устойчивость, в то время как точные уравнения могут привести либо к устойчивому, либо к асимптотически устойчивому, либо, наконец, к неустойчивому движению.

Запишем исходные уравнения в нормальной форме:

Введем полярные координаты; используя соотношения получаем

Решение уравнений линейного приближения имеет вид

Формула для остается в силе и для точных уравнений, если

Пример 19.10А. Исследуем сначала линейные уравнения

описывающие, очевидно, колебания гармонического осциллятора. Начало координат является особой точкой типа центра, и решение имеет вид

Посмотрим, как изменится решение, если в выражения для составляющих вектора поля добавить члены второго порядка, и приведем примеры для каждого из трех возможных здесь случаев. (В каждом из приводимых ниже примеров соблюдается условие так что во всех случаях уравнение остается в силе.) 1) Уравнения имеют вид

Отсюда получаем

Решая, находим

Траекториями являются конические сечения с фокусом в точке О и директрисой При малых значениях траектории представляют собой эллипсы, и вопрос об устойчивости решается так же, как в случае линейного приближения. Для всякого заданного положительного

мы можем взять к (определение символов и к дано в § 19.5).

На рис. 86 показаны траектории, пересекающие прямую в точках

2) Уравнения имеют вид

Отсюда получаем

Решая, находим

и при Устойчивость не только сохранилась, но стала еще более сильной: мы получили асимптотическую устойчивость.

Рис. 86.

3) Уравнения имеют вид

Отсюда получаем

Решая, находим

В этом случае при так что особая точка оказывается неустойчивой. (Этот пример мы уже приводили в § 9.9.)

В случаях 2) и 3) траектории имеют вид гиперболических спиралей.

Пример 19.10В. Рассмотрим в свете изложенной теории задачу о колебаниях гармонического осциллятора в сопротивляющейся среде (эта задача уже рассматривалась нами в § 19.2).

Уравнения движения

приводится к двум уравнениям первого порядка:

Функция обращается в нуль вместе с у и монотонно возрастает, так что всюду положительно, за исключением и монотонно возрастает, когда у возрастает или убывает от нуля. Начало координат представляет особую точку типа центра. Далее,

так что непрерывно убывает и при стремится к предельному значению Но выше мы видели (§ 19.2), что случай невозможен, так что и особая точка асимптотически устойчива.

Пример 19.10С. Рассмотренная выше система может и не быть асимптотически устойчивой, если снять требование, чтобы имело тот же знак, что и у. Рассмотрим, например, движение, определяемое уравнением

Уравнения первого порядка имеют вид

Начало координат представляет особую точку типа центра, причем В полярных координатах имеем

Если t заменить на а у на —у, то уравнения сохранят свою форму. Отсюда следует, что траектории симметричны относительно оси Рассмотрим траекторию, начинающуюся в точке считая Изображающая точка попадает в верхнюю полуплоскость; пока она там находится, выполняются неравенства (так что (так что Кроме того, при малых значениях величина монотонно убывает; предположив для определенности, что получим, что . Траектория не может войти в точку О, так что она вновь пересекается с осью справа от О. Благодаря симметрии траектория в нижней полуплоскости является зеркальным отображением траектории в верхней полуплоскости, так что в целом получаются овальные замкнутые кривые. В этом случае устойчивость, получаемая из линейного приближения, сохраняется как обыкновенная устойчивость, в противоположность предыдущему случаю асимптотической устойчивости.

В этой задаче траектории можно получить в явном виде. Интересно исследовать полное решение, не ограничиваясь случаем малых возмущений из положения равновесия. Уравнение (19.10.10) эквивалентно следующему:

Рис. 87.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Характеристикой, проходящей через точку будет

что можно записать также в виде

Правая часть уравнения показывает, что при мы имеем по координате х либрацию и траекторией в плоскости является замкнутая кривая. Движение в этом случае является периодическим: переменная х совершает колебания в пределах а причем связаны между собой соотношением

(Если величина а мала и положительна, то приближенно равно и период составляет Отметим, что когда Если а равно критическому значению 1/2, траектория принимает форму параболы при Если траектории оказываются незамкнутыми и при стремящемся к конечному пределу На рис. 87 показаны соответствующие кривые для значений (см. рис. 86). При построении этих кривых следует иметь в виду, что замкнутые траектории в точках их пересечения с параболой имеют горизонтальные касательные, а максимальное значение переменной у определяется из уравнения

или

Для незамкнутых траекторий на кривой Пример В качестве еще одного примера движения в окрестности центра рассмотрим систему

Для этой системы при любой форме Случаи нами уже рассматривались в примере поэтому сейчас мы рассмотрим три следующих случая:

1) . Если в начальный момент то и при Траектория представляет собой спираль, накручивающуюся изнутри на окружность а. Имеем

где через обозначена разность Особая точка типа центра, находящаяся в начале координат, неустойчива. Если то а при траектория представляет собой спираль, накручивающуюся снаружи на окружность

В этом случае и существует семейство периодических траекторий, а именно окружностей где целое положительное число. Если то траекторией служит окружность

Если то вместе с t. Если то когда траекторией является спираль, накручивающаяся снаружи на окружность Если то когда траекторией является спираль, накручивающаяся изнутри на окружность Вообще, если не имеет вида то траектория представляет собой спираль, накручивающуюся изнутри или снаружи на ближайшую окружность, радиус которой равен обратной величине четного целого числа. Добавление членов высшего порядка не изменяет устойчивости, установленной линейным приближением: она не становится асимптотической. Не все траектории вблизи точки О являются периодическими (как это было в примере и в примере Читатель может попробовать самостоятельно рассмотреть уравнение применяя теорию, развитую в гл. I при выводе уравнения (1.2.10).

3) . В этом случае когда Траекторией является спираль где Особая точка типа центра неустойчива (см. пример 19.10А, 3)).

Если ввести обозначения то уравнения примут вид

Тогда

и, следовательно,

что совпадает с полученным ранее решением. Аналогичным образом можно поступить и в случае более общей системы