§ 13.15. Качение эллипсоида по шероховатой горизонтальной плоскости.

В качестве последнего примера использования уравнений Гиббса — Аппеля рассмотрим задачу о качении однородного твердого эллипсоида по шероховатой плоскости. Направим оси координат вдоль осей эллипсоида (которые являются главными осями инерции в центре Скорость точки обозначим через направляющие косинусы вертикали (направленной вниз) — через , а координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью — через х, у, z. Условия качения запишутся в виде

Вычислим сначала составляющие ускорения точки . Имеем

Подставляя из (13.15.1), находим

Вводя координаты (причем напишем выражение для функции Гиббса:

в правую часть которого подставим выражение для из (13.15.3) и выражения для из аналогичных формул.

Величины найти нетрудно, поскольку есть момент силы тяжести относительно точки касания. Следовательно,

Может представить интерес и другой способ получения соотношения (13.15.5). Имеем

где высота точки определяемая от горизонтальной плоскости. Далее,

Таким образов,

и мы снова получаем формулу (13.15.5).

Так как определяют фиксированное направление в пространстве, то

Из элементарных геометрических соображений получаем

где a, b, с — полуоси эллипсоида.

Уравнения движения имеют вид

Первое из этих уравнений подробно записывается следующим образом:

или, после преобразований,

где Уравнение (13.15.13) и два аналогичных составляют искомую систему уравнений движения эллипсоида.