и
так что 
совпадает с полной энергией 
причем 
выражено через 
вместо 
Поскольку
находим, что
где, как и в § 10.4, 
обозначает матрицу, обратную матрице 
. Учитывая, что 
напишем явное выражение для 
в следующей форме:
Переход в функции 
от 
производится аналогично тому, как осуществляется переход от точечных координат к линейным в уравнении конического сечения в однородных координатах. Кроме того, 
можно выразить через 
с помощью уравнения
Определитель размером 
равен нулю, так как, умножая 
столбец на 
и суммируя от 
до 
мы получаем последний столбец. Разлагая определитель, находим явное выражение для 
в виде квадратичной формы от 
Особый интерес представляет простой частный случай, когда система отнесена к ортогональным координатам; при этом матрица 
диагональна. Если
то
и
Мы видим, что в этом случае выражение для 
составляется сразу.
Рассмотрим теперь более общий случай ненатуральной системы
В этом случае, как и в § 6.8, можем написать
и 
равно выражению 
в котором 
заменены на 
Полагая, согласно формулам (6.1.6) и (6.1.7),
находим
и
Поэтому
и выражение для II записывается в следующей окончательной форме:
Таким образом, функция 
представляется в виде суммы 
где 
форма степени 
относительно 
Опуская для краткости знак суммы, можем написать
В качестве примера рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в поле механических и электромагнитных сил. Согласно (10.6.18)
где 
скалярный потенциал, а 
векторный потенциал электромагнитного поля. В обозначениях (6.10.4) имеем
и два аналогичных уравнения. Выражение для 
имеет вид
в самом общем случае зависит от 
хотя в большей части конкретных примеров t отсутствует. Полная производная от 
по t равна
не зависит явно от 
то эта функция сохраняет постоянное значение во все время движения:
не зависит явно от 
то и 
не зависит явно от 
и наоборот.)
Для натуральной системы
