Глава XXV. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

§ 25.1. Уравнения движения после контактных преобразований.

Рассмотрим те видоизменения, которым подвергаются уравнения движения механической системы при переходе от старых переменных к новым посредством контактного преобразования. Пусть динамическая система характеризуется функцией Гамильтона Уравнения движения запишем в виде

Перейдем к новым переменным связанным со старыми контактным преобразованием, таким, что

Согласно известной теореме Якоби уравнения движения в новых переменных сохраняют гамильтонову форму

Доказательство этой теоремы получается весьма просто из теоремы эквивалентности (§ 16.3) и основного свойства контактного преобразования (25.1.2). Предположим, что решения уравнений (25.1.1) выражены через независимых параметров (см. § 16.3). Тогда будем иметь

где есть пфаффова форма причем К суть функции у. Кроме того, равенство (25.1.3) показывает, что переменные удовлетворяют уравнениям (25.1.1).

Чтобы описать движение в новых переменных нужно эти переменные выразить через параметры посредством Из (25.1.3) и (25.1.2) имеем

и теорема Якоби теперь следует из второй части теоремы эквивалентности. Новыми уравнениями движения будут

где символом обозначена сумма функций выраженная через переменные что и составляет содержание теоремы Якоби.

Если контактное преобразование задается производящей функцией (см. (24.3.6), (24.3.7)), то новая функция Гамильтона равняется сумме выраженной через . В частности, если уравнений: преобразования не содержат то новые уравнения Гамильтона в перзменных получаются из функции Гамильтона которая равна исходной функции Гамильтона выраженной в новых переменных.

Рассмотрим несколько частных случаев. Если применить преобразование

уже встречавшееся нам в § 24.3 и в § 24.15, то новая функция Гамильтона будет равна . В теории преобразований стирается различие между координатами и импульсами; в частности, лагранжева координата может играть роль составляющей импульса.

Рассмотрим другой важный частный случай. Пусть точка будет стационарной точкой автономной системы с гамильтоновой функцией так что формулы будут определять равновесное решение уравнений Гамильтона. Рассмотрим производящую функцию

Получаемое из нее контактное преобразование будет определяться уравнениями

Мы видим, что характеризует отклонение от равновесного решения. Новая функция Гамильтона имеет вид Если есть аналитическая функция, то, представляя ее в виде степенного ряда по переменным и найдем, что не будет содержать линейных членов. Линейное приближение к уравнениям движения мы получим, если в сохраним лишь члены второго порядка.

Рассмотрим более общий случай. Пусть будет известным решением уравнений Гамильтона для автономной системы. Производящая функция

дает контактное преобразование

Мы снова видим, что характеризует отклонение от известного решения. Новая функция Гамильтона имеет вид

а уравнения движения записываются в форме

где через обозначена частная производная а через производная (см. § 16.2). Линейное приближение (т. е. уравнения в вариациях) можно получить, раскладывая функцию в ряд по степеням и сохраняя одни только квадратичные члены. Разумеется, линейное приближение можно получить весьма просто и не пользуясь теорией контактных преобразований (см. (23.1.4)).

Преобразования (25.1.8) и (25.1.10) представляют расширенные точечные преобразования весьма частного вида. В этих преобразованиях не только являются функциями от но и являются функциями от далее, каждое есть функция от соответствующего и от а каждое функция от соответствующего и от t.

Приведем еще один простой пример контактного преобразования, для которого уравнения преобразования содержат t. Рассмотрим частицу единичной массы, движущуюся в плоскости под действием силы притяжения к центру О. В неподвижных прямоугольных осях будем иметь

Применим контактное преобразование, получаемое из производящей функции

где — постоянная. Уравнения преобразования будут иметь вид

Новой функцией Гамильтона будет сумма выраженная через

Геометрический смысл такой замены очевиден: представляют собой координаты частицы в системе осей, равномерно вращающихся с угловой скоростью со. В этих осях

а функция равна сумме выраженной через (вместо :

Мы снова получили формулу (25.1.16).