§ 21.15. Теорема Пуанкаре — Ляпунова.

Перейдем теперь от линейного приближения (для движения в окрестности особой точки О)

которому соответствует преобразование

к точным уравнениям

Им соответствует преобразование

Функции будем считать принадлежащими к классу

Собственные значения для линейного приближения к преобразованию не зависят от выбора координат. Для доказательства перейдем к новой системе координат

причем и все функции принадлежат к классу Преобразование можно записать в форме Пусть А есть матрица для линейного приближения к Т:

(индекс нуль указывает, что значение берется при Пусть -матрица для линейного приближения к

а С — матрица

Тогда

откуда следует, что матрицы имеют одинаковые собственные значения и элементарные делители.

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением только таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу А линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел X являются чисто мнимыми. Если все то равновесие асимптотически устойчиво; если хотя бы одно то равновесие неустойчиво.

Именно такой результат, конечно, и следовало ожидать, учитывая выводы гл. XIX, относящиеся к случаю Для этого случая было установлено, что если собственные значения для линейного приближения чисто мнимые, то особая точка поля устойчива; если же рассматривать эту точку как особенность поля то можно получить как устойчивость, так и неустойчивость. Чтобы решить вопрос об устойчивости, можно воспользоваться преобразованием как это показано в § 21.14.

1) Асимптотическая устойчивость. Предположим, что все (где собственные значения матрицы собственные значения матрицы В). Линейному приближению соответствует линейное преобразование Т:

Предположим, что матрицу В можно диагонализировать путем подходящего преобразования, тогда уравнения (21.14.1) можно записать в форме

Преобразование при этом обладает следующим свойством:

где число, лежащее между наибольшим из и 1. Докажем сначала простую лемму: если

где то при . В самом деле, имеем

и вообще

Последнее выражение стремится к нулю, когда стремится к бесконечности. Преобразование

дающее при решение точных уравнений, обладает тем свойством, что

Это свойство следует из того, что функции имеют непрерывные вторые производные (фактически оно имеет место и при более общих предположениях). Отсюда заключаем, что существует полояштельное число такое, что если то

и

где Следовательно, согласно лемме откуда следует асимптотическая устойчивость.

2) Неустойчивость. Предположим теперь, что хотя бы одно значение так что соответствующее Как и ранее, матрицу В считаем представленной в диагональной форме.

Для доказательства неустойчивости оператора поступим следующим образом. Введем вещественную квадратичную форму

Имеем

Правая часть представляет определенно-положительную форму, так что существует положительная постоянная с такая, что при всех х

Из соотношений

следует, что

Из (21.15.13) и (21.15.15) приходим к неравенству

справедливому при малых значениях например при

Далее, поскольку по крайней мере одно из превышает единицу, можно указать точку причем произвольно мало, такую, что будет отрицательным, например, Далее доказательство проведем от противного. Предположим, что каждая из величин Та не превышает х, и покажем, что это предположение приводит к противоречию.

Поскольку при всех значениях из условия (21.15.16) следует, что

при всех Так как из неравенства следует то находим, что при всех значениях Обращаясь снова к условию (21.15.16), получаем неравенство

справедливое при всех

Напишем теперь неравенства (21.15.18) для и сложим их; проделав это, будем иметь

откуда следует, что при Однако это противоречит предположению о том, что поскольку неравенство показывает, что величина ограничена. Прийдя к противоречию, мы тем самым доказали теорему.

Доказанная теорема устанавливает достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости. Можно указать также необходимые условия устойчивости. Рассмотрим линейное преобразование (где матрица В не обязательно диагональная, но может быть приведена к диагональному виду). Произведение собственных значений матрицы В будет равно определителю матрицы В. Необходимое условие устойчивости заключается в том, чтобы Для линейного приближения к преобразованию (21.15.1) элементы матрицы В должны быть равны значениям частных производных в точке Таким образом, для устойчивости преобразования (21.15.1) необходимо, чтобы якобиан

при не превышал по абсолютной величине единиц

Следствие. Рассмотрим преобразование для которого матрица А линейного приближения имеет собственные значения, не превышающие единицы, при Оператор асимптотически устойчив. Пусть к — число, лежащее между наибольшим из и единицей. Тогда существуют положительные числа и с такие, что если то

при

Для доказательства введем преобразование

Тогда

Матрицей для линейного приближения к является собственные значения ее равны причем все они не превышают единицы. Поэтому преобразование устойчиво, и можно указать такие что

при всех целых положительных значениях Неравенство (21.15.20) следует непосредственно из (21.15.22).