§ 22.11. Множество ...

Перейдем теперь к доказательству эргодической теоремы. Доказательство проведем в два этапа. Сначала докажем, что величина почти для всех точек множества стремится к некоторому пределу, когда параметр растет до бесконечности, принимая целые значения. Затем мы от этого ограничения откажемся и докажем, что предел существует и тогда, когда стремится к бесконечности, возрастая непрерывно.

Рассмотрим величину считая целым числом. Требуется доказать, что эта величина стремится к некоторому пределу почти для всех Предположим противное: пусть имеется подмножество множества имеющее положительную меру и такое, что для точек величина не стремится ни к какому пределу. Докажем сначала две следующие леммы.

Лемма 1. Существуют два вещественных числа и подмножество К множества имеющее конечную положительную меру и такое, что если то

Для доказательства рассмотрим множество всех интервалов с рациональными граничными точками. Так как это множество счетное, то его элементы можно расположить таким образом, чтобы интервал имел граничные точки Если то

и, следовательно, среди интервалов найдется такой (скажем, для которого

Обозначим через множество точек связанных с интервалом Множества при не имеют общих точек, и

Так как то по крайней мере для одного скажем В качестве множества К мы можем взять

Лемма 2. Пусть целое положительное число. Обозначим через подмножество точек множества К (см. лемму 1), для которых неравенство

выполняется по крайней мере для одного значения Тогда для достаточно больших значений будем иметь

Так как при достаточно большом каждая точка принадлежит всем то

С другой стороны,

Следовательно,

Из неравенства следует, что при достаточно большом Лемма 2, таким образом, полностью доказана.

В дальнейшем мы будем считать фиксированным целым положительным числом, для которого выполнено условие