§ 10.7. Движение относительно подвижной системы отсчета.

В случае натуральной системы соотношения, связывающие не содержат явно t (через х, как обычно, обозначены координаты частиц относительно неподвижного прямоугольного триэдра, т. е. триэдра, жестко связанного с ньютоновой системой отсчета). Рассмотрим теперь более подробно некоторые задачи, в которых соотношения между содержат t. Это будет иметь место при простом и естественном выборе лагранжевых координат, если на некоторую часть системы наложено движение или если используются подвижные оси, причем выбор координат произведен так, что координаты х частиц относительно подвижных осей являются функциями одних только Примером может служить случай, когда подвижные оси связаны с твердым телом, совершающим заданное движение.

Рассмотрим движение относительно системы отсчета движение которой относительно неподвижной системы (ньютоновой системы) задано. Системой отсчета служит триэдр, неизменно связанный с твердым телом, совершающим заданное движение относительно системы Один простой случай подобного рода уже был рассмотрен нами в § 6.7.

Пусть определяют вектор скорости начала О подвижного триэдра, а вектор угловой скорости этого триэдра относительно неподвижной системы составляющие указаны вдоль мгновенных положений подвижных осей. Тогда

Для удобства мы здесь опустили штрихи в обозначениях координат относительно подвижных осей. Таким образом,

Здесь представляют известные функции от t. Выражению (10.7.2) можно придать более удобную форму. С этой целью рассмотрим подробнее отдельные члены, входящие в эту формулу. Член

который мы обозначим через равен удвоенной кажущейся кинетической энергии движения относительно системы отсчета иными словами, это кинетическая энергия системы, как ее оценил бы наблюдатель, движущийся вместе с системой и потому считающий ее неподвижной. В выражении

через обозначена полная масса системы, а через скорость точки О. Член

равен где угловая скорость системы отсчета момент инерции всей системы в рассматриваемый момент времени относительно оси, проходящей через точку О в направлении

В выражении

обозначает радиус-вектор центра масс системы, скорость точки О (т. е. вектор ускорение точки О. Все векторы измеряются относительно неподвижного триэдра, совпадающего с мгновенным положением подвижного триэдра. В выражении

представляет вектор кажущегося момента количеств движения, т. е. момента количеств движения, как его оценил бы наблюдатель, связанный с системой отсчета и потому считающий ее неподвижной. Таким образом, можем написать

При составлении функции Лагранжа члену , а также член имеющий форму (6.8.6), можно опустить; тогда окончательно будем иметь

и

где V — функция потенциальной энергии. В наиболее интересном для нас случае функция V зависит от положения системы относительно подвижной системы отсчета

Введем лагранжевы координаты где число степеней свободы голономной системы в ее движении относительно системы переменные таковы, что соотношения между не содержат t. В этом случае оказывается определенно-положительной квадратичной формой переменных а выражение однородной линейной формой переменных коэффициенты этой линейной формы в общем случае зависят как от так и от

Теперь можно установить влияние движения подвижной системы отсчета на движение механической системы, каким оно представляется наблюдателю, связанному с ней и потому считающему ее неподвижной. Это влияние заключается в следующем:

a) в центре масс системы действует сила, равная -

b) «кажущаяся» потенциальная энергия отличается от V на величину вследствие чего появляются центробежные силы;

c) возникают силы, обусловленные членом в выражении для если t не входит в этот член, то они представляют собой гироскопические силы.

Отметим некоторые частные случаи.

1) Если то движение подвижной системы отсчета не сказывается вовсе на уравнениях движения. Это явление хорошо известно. Система отсчета, движущаяся равномерно, прямолинейно и поступательно относительно ньютоновой системы, сама является ньютоновой. Это утверждение часто называют ньютоновым принципом относительности.

2) Если то движение подвижной системы отсчета проявляется только в том, что возникает однородное поле ускорений — которое дает силу приложенную в центре масс Отсюда, в частности, получается известная теорема о движении твердого тела: если одна точка твердого тела совершает заданное движение, то движение тела относительно этой точки происходит таким образом, как если бы эта точка была неподвижна и кроме других сил на центр масс тела действовала бы еще сила то движение подвижной системы отсчета сказывается в том, что появляются центробежные и гироскопические силы. Частный случай, когда вектор остается постоянным, уже рассматривался нами (§ 6.7). Гироскопических сил не возникает, если является полной производной это всегда имеет место, если число степеней свободы равно единице.

Эти силы отсутствуют также и в том случае, когда вектор во все время движения перпендикулярен к и. В этих случаях влияние вращения системы отсчета сводится лишь к появлению центробежных сил.

4) Теорема Кориолиса. Если система состоит только из одной частицы, массу которой для удобства примем равной единице, то можно написать

где через а, (3, у обозначены составляющие вектора Составляющая вектора ускорения по оси х равна

где

Здесь представляет собой составляющую ускорения точки, фиксированной в подвижной системе осей. Таким образом, мы приходим к следующему результату: ускорение движущейся частицы равно векторной сумме трех слагаемых: 1) ускорения той точки подвижного пространства, где находится в данный момент частица, 2) ускорения относительно подвижных осей,

3) гироскопического члена

В этом заключается теорема Кориолиса. Особо важное значение имеет гироскопический член; он не имеет аналога в соответствующей теореме, относящейся к скорости движущейся частицы. Теорему Кориолиса мы получили как частный случай общей теории движения в подвижной системе отсчета; но ее, разумеется, можно получить без особого труда и непосредственно, не обращаясь к общей теории.