Глава XXX. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ

§ 30.1. Периодические орбиты.

Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели (§ 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает большие трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании. Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей.

§ 30.2. Периодическое движение в окрестности особой точки.

В гл. XIX было рассмотрено движение автономной динамической системы с одной степенью свободы вблизи положения равновесия (особой точки). Сначала рассматривалось линейное приближение, т. е. приближение, которое получается из уравнений движения

в которых в правых частях сохранены одни только линейные члены, начало координат выбрано в особой точке и функции не содержат постоянных слагаемых. В линейном приближении уравнения движения записываются в форме

где А — матрица размером элементами которой являются вещественные постоянные.

Основной вопрос состоит в следующем: что можно сказать об устойчивости движения, определяемого уравнениями (30.2.1), если движение устойчиво в линейном приближении (30.2.2)?

Особый интерес представляет случай точки типа центра; в этом случае матрица А имеет чисто мнимые собственные значения. Система с одной степенью свободы устойчива по первому приближению, но это свойство, как мы видели, не всегда сохраняется при переходе к точным уравнениям.

В общем случае системы с степенями свободы уравнения движения записываются в форме

где Если начало координат выбрано в положении равновесия, то все функции при обращаются в нули. Уравнения линейного приближения имеют вид (см. § 21.11)

где теперь А обозначает матрицу размером Если все собственные значения этой матрицы являются простыми и чисто мнимыми числами, то начало координат в линейном приближении представляет положение устойчивого равновесия. Однако частный случай показывает, что при переходе от приближенных уравнений к точным мы этого можем не получить.

Тем не менее можно указать такое свойство устойчивого положения равновесия, которое сохраняется при переходе к точным уравнениям. Для системы Гамильтона, имеющей пару сопряженных чисто мнимых собственных значений свойство заключается в том, что в окрестности положения равновесия существует семейство периодических движений. Элементы этого семейства зависят от вещественного параметра они существуют для достаточно малых значений и при стремятся к равновесному решению (при котором изображающая точка находится в покое в начале координат). Период при стремится к значению

Рассмотрим вместо системы Гамильтона систему общего вида (30.2.3). Правые части при обращаются в нуль. Предположим, что каждая из функций при достаточно малых может быть представлена степенным рядом по переменным с вещественными коэффициентами и без постоянного члена. Линейное приближение имеет вид (30.2.4). Будем предполагать, что матрица А обладает следующими свойствами. Все собственные значения этой матрицы различны; два из них, например и являются равными по величине и противоположными по знаку мнимыми числами: наконец, ни одно из отношений не является целым числом.

Рассмотрим уравнение линейного приближения (30.2.4). Совершая неособое линейное преобразование

получаем

Матрицу С выберем так, чтобы матрица была диагональной матрицей X:

Уравнения движения принимают теперь вид

и движение, при котором

является периодическим с периодом Комплексные коэффициенты при этом выбираются так, чтобы величины х были вещественны.

Если теперь применить это же самое линейное преобразование к точным уравнениям (30.2.3), то получим уравнения

в которых обозначают степенные ряды по переменным начинающиеся с членов второй степени. Чтобы доказать существование периодических решений, подобных решениям (30.2.9), воспользуемся приемом, аналогичным известному способу вариации произвольных постоянных. Предположим, что существует решение, при котором каждая из функций представляется как функция двух переменных с помощью следующих формул:

причем ряды для начинаются с членов второй степени. Относительно этих рядов предположим следующее. Будем считать, что если так что ряд для не содержит членов вида следовательно, ряд для не содержит членов вида Аналогично, будем предполагать, что если так что ряд для не содержит членов вида а ряд для не содержит членов вида Причины, заставляющие нас вводить эти ограничения, выяснятся позже.

Будем предполагать, далее, что вспомогательные переменные являются функциями от времени, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям

где и есть функция от произведения переменных разложение которой в ряд по степеням начинается с постоянного члена к:

a v - функция от разложение которой начинается с постоянного члена

Предполагая, что эти ряды сходятся для достаточно малых значений представляем уравнения (30.2.10) в следующей форме:

Если подставить сюда соответствующие разложения для и сравнить коэффициенты при подобных членах то можно будет определить все коэффициенты

Уравнение (30.2.17) для имеет вид

или, в развернутой форме,

Аналогичным образом, второе уравнение дает

Остальные уравнения приводят к формулам

Вместо функций в правые части этих уравнений нужно подставить соответствующие ряды по степеням

Левая часть уравнения (30.2.18) не содержит членов вида нигде, кроме как в выражении а левая часть (30.2.19) не содержит членов вида нигде, кроме как в выражении Неизвестные коэффициенты находятся теперь шаг за шагом путем приравнивания коэффициентов. Если найдены все коэффициенты для и коэффициенты для то коэффициенты для можно найти, сравнивая коэффициенты при Оставляя в стороне случаи при при , получаем

где полином относительно уже найденных коэффициентов. Коэффициент при в левой части последнего уравнения никогда не обращается в нуль. Действительно, если то а если то Если же то выражение не может равняться нулю, так как ни одно из отношений не является целым числом. Наконец, коэффициенты находятся путем приравнивания коэффициентов при в уравнении (30.2.18), что позволяет выразить через уже известные коэффициенты. Аналогичным путем из уравнения (30.2.19) можно определить коэффициенты Таким образом, мы построили степенные ряды для переменных вопрос о сходимости этих рядов будет предметом дальнейшего рассмотрения.