Главная > Аналитическая динамика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава XXX. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ

§ 30.1. Периодические орбиты.

Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели (§ 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает большие трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании. Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей.

§ 30.2. Периодическое движение в окрестности особой точки.

В гл. XIX было рассмотрено движение автономной динамической системы с одной степенью свободы вблизи положения равновесия (особой точки). Сначала рассматривалось линейное приближение, т. е. приближение, которое получается из уравнений движения

в которых в правых частях сохранены одни только линейные члены, начало координат выбрано в особой точке и функции не содержат постоянных слагаемых. В линейном приближении уравнения движения записываются в форме

где А — матрица размером элементами которой являются вещественные постоянные.

Основной вопрос состоит в следующем: что можно сказать об устойчивости движения, определяемого уравнениями (30.2.1), если движение устойчиво в линейном приближении (30.2.2)?

Особый интерес представляет случай точки типа центра; в этом случае матрица А имеет чисто мнимые собственные значения. Система с одной степенью свободы устойчива по первому приближению, но это свойство, как мы видели, не всегда сохраняется при переходе к точным уравнениям.

В общем случае системы с степенями свободы уравнения движения записываются в форме

где Если начало координат выбрано в положении равновесия, то все функции при обращаются в нули. Уравнения линейного приближения имеют вид (см. § 21.11)

где теперь А обозначает матрицу размером Если все собственные значения этой матрицы являются простыми и чисто мнимыми числами, то начало координат в линейном приближении представляет положение устойчивого равновесия. Однако частный случай показывает, что при переходе от приближенных уравнений к точным мы этого можем не получить.

Тем не менее можно указать такое свойство устойчивого положения равновесия, которое сохраняется при переходе к точным уравнениям. Для системы Гамильтона, имеющей пару сопряженных чисто мнимых собственных значений свойство заключается в том, что в окрестности положения равновесия существует семейство периодических движений. Элементы этого семейства зависят от вещественного параметра они существуют для достаточно малых значений и при стремятся к равновесному решению (при котором изображающая точка находится в покое в начале координат). Период при стремится к значению

Рассмотрим вместо системы Гамильтона систему общего вида (30.2.3). Правые части при обращаются в нуль. Предположим, что каждая из функций при достаточно малых может быть представлена степенным рядом по переменным с вещественными коэффициентами и без постоянного члена. Линейное приближение имеет вид (30.2.4). Будем предполагать, что матрица А обладает следующими свойствами. Все собственные значения этой матрицы различны; два из них, например и являются равными по величине и противоположными по знаку мнимыми числами: наконец, ни одно из отношений не является целым числом.

Рассмотрим уравнение линейного приближения (30.2.4). Совершая неособое линейное преобразование

получаем

Матрицу С выберем так, чтобы матрица была диагональной матрицей X:

Уравнения движения принимают теперь вид

и движение, при котором

является периодическим с периодом Комплексные коэффициенты при этом выбираются так, чтобы величины х были вещественны.

Если теперь применить это же самое линейное преобразование к точным уравнениям (30.2.3), то получим уравнения

в которых обозначают степенные ряды по переменным начинающиеся с членов второй степени. Чтобы доказать существование периодических решений, подобных решениям (30.2.9), воспользуемся приемом, аналогичным известному способу вариации произвольных постоянных. Предположим, что существует решение, при котором каждая из функций представляется как функция двух переменных с помощью следующих формул:

причем ряды для начинаются с членов второй степени. Относительно этих рядов предположим следующее. Будем считать, что если так что ряд для не содержит членов вида следовательно, ряд для не содержит членов вида Аналогично, будем предполагать, что если так что ряд для не содержит членов вида а ряд для не содержит членов вида Причины, заставляющие нас вводить эти ограничения, выяснятся позже.

Будем предполагать, далее, что вспомогательные переменные являются функциями от времени, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям

где и есть функция от произведения переменных разложение которой в ряд по степеням начинается с постоянного члена к:

a v - функция от разложение которой начинается с постоянного члена

Предполагая, что эти ряды сходятся для достаточно малых значений представляем уравнения (30.2.10) в следующей форме:

Если подставить сюда соответствующие разложения для и сравнить коэффициенты при подобных членах то можно будет определить все коэффициенты

Уравнение (30.2.17) для имеет вид

или, в развернутой форме,

Аналогичным образом, второе уравнение дает

Остальные уравнения приводят к формулам

Вместо функций в правые части этих уравнений нужно подставить соответствующие ряды по степеням

Левая часть уравнения (30.2.18) не содержит членов вида нигде, кроме как в выражении а левая часть (30.2.19) не содержит членов вида нигде, кроме как в выражении Неизвестные коэффициенты находятся теперь шаг за шагом путем приравнивания коэффициентов. Если найдены все коэффициенты для и коэффициенты для то коэффициенты для можно найти, сравнивая коэффициенты при Оставляя в стороне случаи при при , получаем

где полином относительно уже найденных коэффициентов. Коэффициент при в левой части последнего уравнения никогда не обращается в нуль. Действительно, если то а если то Если же то выражение не может равняться нулю, так как ни одно из отношений не является целым числом. Наконец, коэффициенты находятся путем приравнивания коэффициентов при в уравнении (30.2.18), что позволяет выразить через уже известные коэффициенты. Аналогичным путем из уравнения (30.2.19) можно определить коэффициенты Таким образом, мы построили степенные ряды для переменных вопрос о сходимости этих рядов будет предметом дальнейшего рассмотрения.

1
Оглавление
email@scask.ru