§ 22.2. Скобки Пуассона.

Интегралы уравнений Гамильтона удовлетворяют уравнению

Входящий сюда линейный оператор определяется формулой

Если функции от принадлежащие классу или, сокращенно, функции от то выражение

представляющее собой сумму определителей Якоби, называют скобкой Пуассона и обозначают через Таким образом,

и интегралы уравнений Гамильтона удовлетворяют уравнению

Собственно уравнения Гамильтона также можно записать с помощью скобок Пуассона:

Скобки Пуассона играют важную роль как в классической механике, так и в квантовой механике. Познакомимся с их основными свойствами. Пусть функции от класса а с — некоторая постоянная. Скобки Пуассона обладают следующими очевидными свойствами:

При использовании скобок Пуассона нужно помнить, что существенное значение имеет порядок записи переменных: .

Наиболее важное свойство скобок Пуассона выражается теоремой, известной под названием тождества Пуассона или тождества Якоби".

Для доказательства заметим прежде всего, что если два линейных оператора вида

с коэффициентами класса и если функция то выражение

зависит линейным образом от первых производных функции и не содержит вторых производных этой функции. Если теперь написать подробные выражения для скобок Пуассона в левой части тождества (22.2.8), то мы увидим, что каждое из слагаемых представляет произведение двух производных первого порядка и одной производной второго порядка. Поэтому достаточно доказать, что коэффициент при каждой из вторых производных равен нулю. Рассмотрим вторые производные функции они содержатся в первом и третьем слагаемых суммы (22.2.8). Кроме того,

где линейные операторы указанного выше типа. Имеем

Правая часть не содержит вторых производных функции и, откуда и следует теорема.