§ 9.8. Гироскоп Фуко.
Рассмотрим вращающийся волчок, подвешенный к неподвижной точке 
пусть центр тяжести его 
находится на одной вертикали с точкой О и вращение происходит около его оси. Если волчку сообщить малое возмущение, то его ось 
сохранит направление, близкое к вертикальному. Это имеет место независимо от скорости вращения и следует из уравнения энергии, которое можно записать в форме, аналогичной (8.6.8):
Когда ось стационарна, 
если эту величину немного изменить, положив 
где а — малая величина, то для возмущенного движения получим
и во все время движения будем иметь 
При изучении возмущенного движения в окрестности направленной вниз вертикали удобно ось 
направить вертикально вниз и избежать, таким образом, неприятностей, связанных с неопределенностью 
в состоянии покоя, возникающей, когда ось 
направлена вертикально. Тогда будем иметь
Полагая, как обычно,
и используя это равенство при составлении уравнений Лагранжа для 
и 
получаем
Во втором из этих уравнений произведено сокращение на множитель 
он отличен от нуля 
близок к единице).
Чтобы рассмотреть возмущенное движение в окрестности вертикали, направленной вниз, положим 
Тогда с точностью до величин первого порядка относительно 
направляющие косинусы оси волчка будут равны 
Приближенные уравнения движения, составленные с такой же точностью, будут иметь вид
Эти уравнения совпадают с уравнениями движения частицы в плоскости 
под действием линейно изменяющейся притягивающей силы и гироскопической силы (§ 8.8). Полагая 
и обозначая, как и ранее, 
находим, что 
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Решение этого уравнения имеет вид
где
а коэффициенты 
вообще говоря, комплексные. При малом возмущении, когда 
в начальный момент малы, 
все время остается малым и линейное приближение достаточно хорошо аппроксимирует действительное движение, по крайней мере для не слишком больших значений t.
Уравнения (9.8.6) можно очень просто получить с помощью метода, описанного в § 8.7. Имеем
Поскольку вектор 
имеет теперь компоненты (
векторное уравнение (8.7.2) эквивалентно трем скалярным уравнениям
где и есть вектор 
В нашей задаче у и z малы, а х близок к единице; учитывая это, мы приходим к уравнениям (9.8.6).
Рассмотрим решение уравнения (9.8.7) в двух частных случаях; начальные значения 
обозначим соответственно через 
1) 
вещественно и положительно (и, разумеется, мало); в момент 
ось волчка имеет вертикальное направление. Решение имеет вид
Траектория имеет форму розетки и в полярных координатах описывается уравнением
где 
Траектория изображена на рис. 25, она построена для случая, когда скорость вращения мала и X, следовательно, велико.
Рис. 25.
Рис. 26.
Если скорость вращения велика и X лишь немного превышает единицу, то форма траектории близка к окружности.
2) 
, причем а вещественно и положительно; ось волчка начинает движение из состояния покоя вблизи вертикали. Решение имеет вид
и траектория представляет собой гипоциклоиду. Такую кривую описывает точка окружности радиуса 
катящаяся внутри окружности радиуса а (рис. 26). В обозначениях, указанных на рисунке, можем написать
Если положить здесь
то мы получим формулу (9.8.13).
