§ 28.4. Положения равновесия на прямой АВ.

При имеем следовательно, исключая особые точки

Таким образом, при Рассмотрим поведение функции при возрастании от до При аж она обращается в бесконечность и, кроме того, стремится к бесконечности вместе с Производная монотонно возрастает от до в каждой из трех областей: Следовательно, в каяодой из этих областей производная один раз принимает нулевое значение, и функция достигает при этом минимума. Соответствующие точки являются положениями равновесия. Этот факт физически совершенно очевиден, если считать потенциалом.

Положение равновесия находится на расстоянии, не превышающем I, от точки А, а положение равновесия на расстоянии, не превышающем I, от точки В. Чтобы доказать это, замечаем, что для трех указанных выше областей

так что, например, в области

Следовательно, для точки области в которой

будем иметь

откуда вытекает, что точка расположена между Точно так же доказывается, что точка лежит между Что касается точки то она располагается между Действительно, для точки имеем

График функции показан на рис. 114.

Имея в виду дальнейшие приложения, отметим, что в каждой из точек

Первое из этих условий было доказано выше (см. (28.4.1)), а второе вытекает из (28.3.9). Для того чтобы доказать третье, заметим, что в точке согласно и так как в этой точке то из соотношения (28.3.5) получаем

Рис. 114.

Это выражение в точке отрицательно, поскольку в этой точке Для точки доказательство аналогично. Для точки имеем

и это выражение отрицательно, так как в области не превышают Обратимся к графику функции (рис. 114). В точках функция имеет минимум, причем можно показать, что

(мы по-прежнему считаем, что Для этого возьмем в области точку расстояние которой от точки В равно расстоянию точки от точки В. Положив будем иметь

Отсюда следует, что Но, с другой стороны, поскольку в точке функция имеет меньшее значение, чем в любой другой точке области что и доказывает первое из неравенств (28.4.10).

Возьмем теперь в области точку находящуюся от точки на том же расстоянии, что и точка Положив , будем иметь

Отсюда следует, что Но, с другой стороны, поскольку в точке функция имеет меньшее значение, чем в любой другой точке области таким образом, второе неравенство (28.4.10) доказано.