§ 17.10. Два неподвижных притягивающих центра

Рассмотрим движение планеты массы в поле сил двух притягивающих центров с массами движение происходит в плоскости, проходящей через оба центра. Эта задача представляет большой интерес, поскольку может рассматриваться как некоторый частный случай задачи трех тел. Впервые она была подробно рассмотрена Лежандром в связи с его исследованиями по теории эллиптических функций. Пусть будут расстояниями планеты до масс введем конфокальные (эллипсоидальные) координаты

Рис. 59.

Кривая будет представлять эллипс, в фокусах которого расположены притягивающие массы, а кривая ветвь гиперболы с теми же фокусами. Обозначим через расстояние между притягивающими центрами. Координата ограничена снизу а координата ограничена как снизу, так и сверху — с).

Выбрав оси декартовой системы координат так, как показано на рис. 59, с началом посередине расстояния между притягивающими центрами, будем иметь

Отсюда

и, следовательно.

Дифференцируя, получаем

и

Отсюда находим

и, далее,

где

Предположим для определенности, что тогда

Опуская положительный множитель получаем

и видим, что функция Гамильтона относится к типу (17.2.12), допускающему разделение переменных.

Интегралы лагранжевых уравнений движения можно записать в форме (17.3.5):

где

Введем следующие обозначения:

В процессе движения будем иметь

Пусть нули функции нули функции Величины очевидно, вещественны. В самом деле, если бы были комплексными, то стало быть, так что и также были бы комплексными. Последнее, однако, невозможно, так как если бы и имели комплексные нули, то обе эти функции имели бы тот же знак, что и и одно из неравенств (17.10.18) не выполнялось бы. Вещественность будет служить основой для классификации траекторий. Вместо плоскости а (§ 17.4) мы воспользуемся плоскостью

Из условий (17.10.18) следует, что если то X заключено в интервале лежит вне интервала если и вещественны; если же то X лежит вне интервала заключено внутри интервала Комплексные значения и при невозможны.

Определим теперь критические кривые на диаграмме причем будем считать, что Величины суть корни уравнения

Они равны друг другу, если

Положив

или, что то же,

представим уравнение (17.10.20) в форме

Оно определяет две прямые в плоскости с одинаковым наклоном к осям. Это — две критические кривые. Далее, если

т. е. если точка лежит на гиперболе

то либо

Прямые (17.10.23), проходящие через начало координат, касаются гиперболы, причем прямая касается нижней ветви гиперболы в точке Нужно определить еще (считая какая ветвь гиперболы (17.10.25) отвечает и какая Если то так что условие соответствует той части гиперболы, которая расположена справа от точки Аналогичные рассуждения показывают, что равенствам соответствуют части гиперболы

Обе гиперболы (17.10.25) и (17.10.26) проходят через точку .

На этом заканчивается исследование критических кривых, соответствующих нулям функции (рис. 60). Нулям функции будут соответствовать критические кривые Однако некоторые из областей будут исключаемыми.

Рис. 60.

Рис. 61.

Если то X лежит в интервале и поскольку X с, область исключается. Если то лежит вне интервала и поскольку с с, следует исключить область, для которой Так как то выполнение условия — влечет за собой выполнение условия

Если то, как мы уже видели, комплексные значения исключаются. Но если вещественны, то лежит между этими значениями, так что области исключаются. Однако в этом случае условие не является следствием второго условия, так как

Если не считать исключаемые области, полуплоскость разделяется критическими кривыми на восемь частей (рис. 61). Им соответствуют

восемь основных типов орбит. Кроме этих восьми основных типов имеются еще другие типы, соответствующие некоторым особым точкам на рис. 61. Это — точки на критических кривых, изолированные точки, для которых три нуля функции или совпадают, и точки пересечения критических кривых функций (т. е. точки, для которых соответствующие формы имеют двукратные нули).

Вспомним, что для того, чтобы было возможно движение по эллипсу должно быть двукратным нулем функции Следовательно, при движении по линии о должно быть двукратным нулем функции тогда как при движении по линии (прямая, соединяющая центры притяжения) с должно быть простым нулем функции Аналогично, при движении по линии где должно быть двойным нулем функции а при движении по линии (или с (или —с) должно быть простым нулем функции