§ 21.13. Устойчивость преобразований.

Рассмотрим непрерывное преобразование, устанавливающее соответствие между точками х и у; оператор преобразования обозначим через

Оператор определен для точек х, принадлежащих области Во всех рассматриваемых ниже случаях область содержит начало координат, которое считается неподвижной точкой преобразования Можно ввести определение устойчивости аналогично тому, как это было сделано в § 21.12

при рассмотрении дискретного случая. Грубо говоря, будем считать оператор устойчивым, если величина мала, когда мало Точное определение можно сформулировать следующим образом.

Определяемое оператором преобразование называется устойчивым (или, иначе, оператор называется устойчивым), если для заданного можно указать положительное такое, что если то для всех целых положительных чисел

Преобразование асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и если, кроме того, существует положительное число х такое, что если то когда

Если преобразование не обладает свойством устойчивости, то говорят, что оно неустойчиво, т. е. преобразование неустойчиво тогда и только тогда, когда существует положительное число х такое, что можно указать точки х с произвольно малым для которых при некотором целом положительном значении

Рассмотрим в качестве примера линейное преобразование

где В — неособенная матрица размером с постоянными элементами Предположим, что матрица В может быть приведена к диагональной форме. Введем новые переменные определяемые формулами где С — неособенная матрица; уравнение (21.13.2) тогда перепишется в виде

Выбор матрицы С подчиним требованию, чтобы матрица была диагональной, элементами этой матрицы будут собственные значения матрицы В. Преобразование принимает теперь простую форму уравнение записывается в виде

Таким образом, составляющая оператора равна Условие устойчивости (а также асимптотической устойчивости и неустойчивости) преобразования следует теперь немедленно. Преобразование, осуществляемое оператором является устойчивым, если при всех значениях из совокупности оно асимптотически устойчиво, если при всех этих и оно неустойчиво, если для какого-нибудь значения

Приведем еще два примера, оба для преобразования с одной переменной.

Пример 21.13А. Рассмотрим преобразование

Начало координат является (единственной) неподвижной точкой преобразования; эта точка неустойчива. Обозначим выражение через

1) Если то вместе с Последовательность монотонно возрастает, и при

следовательно,

и вместе с

3) Если то при . В самом деле, полагая находим

Отсюда

и аналогично

для всех Последовательность монотонно возрастает и ограничена, так что при устремляя к бесконечности в уравнении

находим, что

5) Если то (как в случае 1)).

Таким образом, если то в противном случае

Пример 21.13В. Рассмотрим дробно-линейное преобразование

В общем случае имеются две неподвижные точки ряд, которые определяются как корни уравнения

Величины связаны между собой соотношением

где

Предположим, что При этих условиях корни вещественны и различны и Числа яд можно расположить так, чтобы Имеем

Если а то отсюда следует, что при Неподвижная точка асимптотически устойчива, тогда как точка неустойчива.

В исключительном случае, когда имеем при этом если число четное, и , если число нечетное. В этом случае обе неподвижные точки устойчивы, но ни одна из них не является асимптотически устойчивой.