§ 15.6. Примеры использования главной функции.

Мы видели, что главная функция зависит от независимых переменных: координат начальной и конечной точек в -пространстве и начального и конечного моментов времени. В простейших случаях (см. ниже пример 1)) этим переменным можно задать произвольные значения, так что, сообщив движение из точки в момент можно достигнуть цели — точки в момент В подобных случаях функция существует и является (однозначной) дифференцируемой функцией при всех вещественных значениях аргументов. В более сложных случаях это не имеет места, что, однако, не противоречит общей теории, поскольку практически мы всегда начинаем с заданной дуги известной траектории. Это соответствует определенной точке

в -мерном пространстве, для которой определенное значение определяется заданной траекторией, и мы имеем дело только с вариацией в непосредственной окрестности точки (15.6.1).

Приведем несколько конкретных примеров.

1) Движение частицы в плоскости в однородном силовом поле ( Если через обозначить составляющие скорости в точке то можно написать

Если разность не равна нулю, то эти уравнения определяют единственным образом. Существует единственное решение для произвольных положений терминальных точек и для произвольных неравных значений Следовательно, существует и является однозначной функцией шести своих аргументов.

2) Гармонический осциллятор. Уравнение движения имеет вид

Уравнение

однозначно определяет если только не кратно За исключением этого случая, существует единственная траектория для произвольных значений четырех аргументов и является однозначной функцией от Это ясно видно из рис. 48, на котором показаны движения, начинающиеся в точке в момент Если же то траектории не существует, если только не выполняется условие в последнем случае существует бесконечное множество траекторий.

Рис. 48.

Поэтому, если кратно то функция вообще говоря, не определена.

Рассмотрим более общую задачу, а именно малые колебания около положения устойчивого равновесия (§ 9.1). В нормальных координатах имеем

где есть значение в момент Эти уравнения однозначно определяют если только ни одно из чисел не является кратным . За исключением таких случаев, траектория однозначно определяется терминальными точками и временем перехода и является однозначной функцией.

3) Простой маятник. Для простоты положим так что начальному положению груза будет соответствовать наинизшее его положение. Зависимость от для различных начальных скоростей представлена на рис. 5. Если произвольно, а произвольно в пределах то траектория, разумеется, не будет единственной. Единственность траектории можно гарантировать, если принять следующие ограничения: а) рассматривать лишь периодические движения с амплитудой, меньшей , исключив из рассмотрения траектории, где изменяется монотонно; рассматривать только положительные начальные значения 9; с) считать, что конечное значение достигается за время, меньшее, чем один полный период.