§ 1.8. Голономные и неголономные системы.

Если уравнение связи Пфаффа (1.7.1) интегрируемо (после умножения на соответствующий интегрирующий множитель), то система называется голономной. Уравнение связи в этом случае можно записать в конечной форме:

Если уравнение (1.7.1) невгнтегрируемо, то система называется неголономной.

Чтобы ответить на вопрос о том, в чем состоит основное различие между голономными и неголономными системами, достаточно рассмотреть катастатические системы, ограничившись простым случаем, когда коэффициенты с не зависят от t.

Если пфаффова форма допускает интегрирующий множитель, то система голономна и уравнение связи записывается в виде

Отсюда следует, что из всякой заданной точки (скажем, из начала координат) можно достигнуть лишь двухпараметрического множества точек, а именно множества точек поверхности

С другой стороны, если система неголономна, то достижимо трехпараметрическое множество точек. Пусть уравнение связи задано, например, в форме

не допускающей, очевидно, интегрирующего множителя. В этом случае можно указать путь, удовлетворяющий условию (1.8.4) и ведущий из начала координат в произвольную точку Для доказательства рассмотрим путь

считая Уравнение связи (1.8.4), очевидно, удовлетворяется, и остается лишь подобрать функцию таким образом, чтобы удовлетворялись

условия

Из простых геометрических соображений следует, что существует бесконечное множество таких функций. В частности, поставленным условиям удовлетворяет любая функция семейства

Разность между числом координат и числом уравнений связи называется числом степеней свободы системы. В рассматриваемом примере мы имеем три координаты и одно уравнение связи, так что число степеней свободы равно двум. Важным свойством голономной системы является достижимость двухпараметрического множества положений из данной начальной точки. Если же система неголономна, то достижимо трехпараметрическое множество положений, хотя система по-прежнему обладает двумя степенями свободы.

Приведенное рассуждение носит общий характер, несмотря на то что рассмотренное уравнение связи имело специальный вид (1.8.4). Общее неинтегрируемое уравнение Пфаффа с помощью подходящей подстановки может быть приведено к форме (1.8.4).

Попутно отметим, что неголономные системы, состоящие из одной точки, практически редко встречаются. Простейшим примером, возможно, может служить кривая преследования. Точка движется по оси по заданному закону Частица, положение которой в момент t определяется координатами х, у, движется в плоскости таким образом, что вектор ее скорости в каждый момент времени направлен в точку Уравнение связи

не допускает интегрирующего множителя (за исключением тривиального случая, когда постоянно), и система является неголономной.

§ 1.9. Случай двух связей. Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в пространстве под действием заданной силы ( в случае, когда на нее наложены две связи, выражаемые уравнениями

и

Коэффициенты в этих уравнениях являются заданными функциями х, у, z, t, принадлежащими классу Здесь возможны три случая.

1. Система уравнений Пфаффа вполне интегрируема, т. е. эквивалентна двум уравнениям вида

Уравнения связи могут быть записаны в виде

и система является голономной.

2. Существует одна и только одна интегрируемая комбинация уравнений (1.9.1) и (1.9.2). В этом случае можно указать множители такие, что сумма является точным дифференциалом, причем нельзя указать другую интегрируемую комбинацию, которая была бы независима от первой. (Пфаффова форма также представляет собой точный дифференциал, но она эквивалентна предыдущей форме.)

Уравнения связи могут быть представлены в форме одного конечного соотношения и одного уравнения Пфаффа:

Система является неголономной.

3. Не существует ни одной интегрируемой комбинации, и первоначальная форма уравнений связи (1.9.1), (1.9.2) не может быть упрощена. Система неголономна.

Система имеет одну степень свободы. В случае 3 из данной точки можно достигнуть трехпараметрического множества положений, в случае 2 — двухпараметрического множества и в случае 1 — однопараметрического множества. Случай 1 мы имеем, например, когда бусинка скользит по проволоке известной постоянной или переменной формы. Виртуальные перемещения удовлетворяют уравнениям

Работа реакции связи на любом виртуальном перемещении равна нулю:

при любых удовлетворяющих уравнениям (1.9.6) и (1.9.7). Поэтому существуют множители такие, что

Движение частицы под действием силы согласуется с уравнениями связи (1.9.1) и (1.9.2). Легко видеть, что движение в общем случае может быть определено до конца. В самом деле, система няти дифференциальных уравнений

позволяет определить как функции от t. Ясно, что множители пропорциональны реакциям двух связей.

В случае трех связей задача становится тривиальной. Три уравнения связи

определяют х, у, z как функции от х, у, z, t. Мы имеем уравнения первого порядка, и положение частицы в момент определит ее положения в последующие моменты времени. Уравнения, аналогичные (1.9.10), служат лишь для того, чтобы выразить множители пропорциональные реакциям связи, через составляющие заданной силы.