§ 18.7. Стандартный куб.

Теперь становится очевидным, что в -пространстве мы имеем периодическую структуру, аналогичную структуре в -пространстве. Две точки в -пространстве соответствуют одной и той же точке в фазовом пространстве, если их относительное перемещение определяется вектором , где целые числа, единичные векторы, параллельные координатным осям. Все пространство таким образом, можно разбить на ячейки в форме куба единичного размера так, что конгруэнтные точки в двух любых ячейках будут эквивалентны, т. е. будут соответствовать одной

и той же точке фазового пространства. Поэтому естественно сосредоточить внимание на рассмотрении стандартного единичного куба и отнести отрезок траектории, лежащий в каком-либо кубе, к конгруэнтному отрезку в стандартном кубе. Траектория будет состоять из параллельных отрезков прямых, проходящих через стандартный куб.

Расположим точку соответствующую моменту времени в вершине стандартного куба. Пары противоположных граней стандартного куба являются -мерными плоскостями, определяемыми уравнениями

Положение изображающей точки в некоторый момент t относительно точки определяется формулами

где через обозначена дробная часть числа х. Как мы видели, изображающая точка никогда не возвращается в свое исходное положение если только частоты не связаны линейными соотношениями с целыми коэффициентами.

Рис. 68.

Если имеется таких соотношений, причем то движение носит исключительный характер; в таких случаях говорят, что движение является вырождающимся. Поясним это. Предположим сначала, что т. е. что существует одно соотношение вида

в котором целые числа, не все равные нулю. Легко дать геометрическую интерпретацию этому соотношению: оно выражает, что траектория в -пространстве ограничена многообразием меньшего измерения, чем . В самом деле,

откуда следует, что 2 есть целое число, положительное, отрицательное или нуль, и изображающая точка в силу (18.7.2) лежит в одной из плоскостей

Отрезки, изображающие орбиту, в этом случае не проходят вблизи всех точек куба, а ограничены системой (конечного числа) эквидистантных параллельных плоскостей. На рис. 68 иллюстрируется случай когда имеется одно соотношение вида (18.7.3). Аналогично (для системы с степенями свободы), если имеется независимых соотношений, то отрезки ограничены многообразием измерений.

Если нет соотношений типа (18.7.3), то отрезки траектории плотно заполняют стандартный куб. Если произвольная точка единичного куба, заданное сколь угодно малое положительное число, то можно указать такое (достаточно большое) число чтобы

Это неравенство выражает теорему Кронекера. Изображающая точка бесконечно много раз проходит в произвольной близости от любой точки

единичного куба. Аналогичное утверждение справедливо и в отношении соответствующей области фазового пространства. Мы получили результат, же доказанный ранее в § 18.6. Если движение является вырожденным, то траектория изображающей точки плотно заполняет соответствующее многообразие -пространства (см., например, рис. 68).