§ 19.3. Система с одной степенью свободы.

Перейдем теперь от простых частных случаев к рассмотрению автономной системы общего вида при Имеем векторное поле (обозначаемое в общем случае через X), составляющие которого принадлежат к классу в области плоскости Уравнения движения имеют вид

(движение системы мы представляем движением изображающей точки в плоскости

Точка х, у называется обыкновенной или регулярной, если для нее выполняется неравенство если же то она называется особой точкой. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь такие векторные поля, для которых особые точки являются изолированными и якобиан отличен от нуля.

Траекториями будут дуги силовых линий, определяемых уравнениями

При этом, как уже отмечалось, через всякую регулярную точку проходит одна единственная силовая линия. Заданной точке А области соответствует единственное движение изображающей точки, при котором в момент она занимает положение А. Если А есть особая точка, то проходящая через нее траектория вырождается в самое эту точку, так что имеет место состояние покоя. Если же А есть обыкновенная точка, то изображающая точка удаляется от А вдоль проходящей через А силовой линии, с которой совпадает соответствующая траектория.

Ниже мы увидим, что особые точки (дающие положения равновесия) и замкнутые силовые линии (дающие периодические орбиты) играют особую роль при изучении движения системы. Начнем с изучения движения в окрестности особой точки.