§ 24.7. Условия контактности преобразования, скобки Лагранжа.

Пусть каждая из переменных является функцией класса от аргументов Рассмотрим сумму определителей Якоби

Эту сумму называют скобкой Лагранжа и обозначают обычно символом . В данный момент нас будет интересовать случай, когда в качестве аргументов выберем Для того чтобы преобразование переменных к переменным было контактным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись

равенства

для всех пар целых чисел в последовательности при любом фиксированном значении t.

Доказательство следует немедленно. Принимая во внимание основное равенство (24.2.5) и выбирая за независимые переменные, находим, что для контактности преобразования необходимо и достаточно, чтобы выражение

было полным дифференциалом при любом фиксированном значении t. Но это выражение представляет полный дифференциал лишь в том случае, если выполняются равенства

что равносильно (24.7.2).