§ 30.8. Приложение к ограниченной задаче трех тел.

Предположим, что величины фиксированы, следовательно, фиксировано и значение Выберем равным Случай соответствует движению в поле ньютоновского притяжения к неподвижному центру. Для этого случая уравнения движения в обозначениях § 28.2 имеют вид

где

Обозначив производные х и у соответственно через и и о, напишем эквивалентную систему уравнений первого порядка:

Равномерное вращение по окружности радиуса к описывается уравнениями

где

Это движение возможно, если выполняется условие

Условие (30.8.6) очевидно из элементарных соображений, в справедливости его можно убедиться также непосредственной подстановкой в уравнения движения. Период движения относительно вращающихся осей равен

Равновесное решение следует исключить, так же как и случаи и Случай требует бесконечно большого значения , а в случае имеем и если то точка В с координатами является особой и при стремится к точке на окружности

Обозначим х, у, и, v через и составим уравнения в вариациях. С этой целью положим

Так как

то

Теперь нетрудно написать уравнения в вариациях:

Введем новые переменные

В новых переменных уравнения будут иметь вид

т. е. будут линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Эта система имеет следующее решение:

Здесь

а постоянные определяются равенствами

где есть начальное значение Матрица имеет вид

где, в отличие от предыдущего,

Теперь нетрудно проверить результаты общей теории. Матрица получается из матрицы путем отбрасывания пятой строки и пятого столбца. Как и следовало ожидать, третья строка матрицы не независима от остальных строк, а четвертый столбец не независим от остальных столбцов. Определитель матрицы размером получающейся при отбрасывании третьей строки и четвертого столбца матрицы равен

Таким образом, если

где целое положительное число, то при достаточно малых существуют периодические решения с периодом а. Значение было нами исключено, так же как и значения

Далее, матрица получающаяся из путем отбрасывания пятой строки и четвертого столбца, очевидно, является особой, как это и следует из общей теории. Если в матрице отбросить третью строку и четвертый столбец, то получится матрица ее определитель имеет значение

Как и ранее, параметр не должен принимать значений, указанных в формуле (30.8.19), тогда при достаточно малом будут существовать периодические движения с периодом

В обоих рассмотренных случаях речь идет о решениях, периодических относительно вращающихся осей.